半角の公式

半角の公式と呼ばれるものは上の \(3\) つです。

これらの式は、暗記する必要は一切ありません。

余弦の \(2\) 倍角の公式 ↓ とまったく同じ式だからです。

\(\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}\)

例題で確認しましょう。

例題１

\(0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}\) で、\(\cos \alpha=\displaystyle \frac{2}{3}\) のとき、

\(\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)、\(\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)、\(\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}\) の値を求めなさい。

解説

余弦の \(2\) 倍角の公式で解決します。

\(\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)

\(\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}\)

ですが、

\(\cos\) \(2\alpha\)\(= 1- 2\sin^2\) \(\alpha\)
を用いて、
\(\cos\) \(\alpha\)\(= 1- 2\sin^2\) \(\displaystyle \frac{\alpha }{2}\)
です。
角度が半分ならば成り立つわけです。

この式に、\(\cos \alpha=\displaystyle \frac{2}{3}\) を代入して、

\(\displaystyle \frac{2}{3}=1-2\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)

\(\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{1}{6}\)

\(0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}\) で、\(\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2} \gt 0\) なので、

\(\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}\)

これで求まりました。
そもそも「半角の公式」は、余弦の \(2\) 倍角の公式を上のように
式変形をすることで導かれるのです。

等式の変形をするだけなので、「半角の公式」は暗記する必要はまったくありません。

\(\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)

では \(\cos\) も同様に求めてみましょう。

余弦の \(2\) 倍角の公式で解決します。

\(\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}\)

ですが、

\(\cos\) \(2\alpha\)\(= 2\cos^2\)\( \alpha\)\(-1\)
を用いて、
\(\cos\)\( \alpha\)\(= 2\cos^2\)\( \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)\(-1\)
です。
よって、

\(\displaystyle \frac{2}{3}=2\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}-1\)

\(\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{5}{6}\)

角の条件より、

\(\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}\)

もちろん、

\(\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}+\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}=1\)

を用いてもＯＫです。（１）で \(\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}\) が求まっていますので。

\(\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}\)

\(\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2} }{\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2} }\)

を用いても解決します。

（１）（２）の結果を代入して、

\(\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6} }{\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6} }\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\)

以上求まりました。

半角の公式
\(\tan^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha}\)

で解くのならば、

\(\tan^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{2}{3} }{1+\displaystyle \frac{2}{3}}\)

より、

\(\tan \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\)
※角の条件より、符号は正

\(\tan\) の半角の公式は、\(\sin,\cos\) の半角の公式から容易に導けますね。
あるいは、正確に暗記しましょう。
分母と分子、どちらが正でどちらが負だったか、忘れて迷うくらいなら、はじめから暗記しない方がましです。