半角の公式

半角の公式と呼ばれるものは上の $3$ つです。

これらの式は、暗記する必要は一切ありません。

余弦の $2$ 倍角の公式 ↓ とまったく同じ式だからです。

$\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}$

例題で確認しましょう。

例題１

$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha=\displaystyle \frac{2}{3}$ のとき、

$\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}$、$\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2}$、$\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}$ の値を求めなさい。

解説

余弦の $2$ 倍角の公式で解決します。

$\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}$

$\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}$

ですが、

$\cos$ $2\alpha$$= 1- 2\sin^2$ $\alpha$
を用いて、
$\cos$ $\alpha$$= 1- 2\sin^2$ $\displaystyle \frac{\alpha }{2}$
です。
角度が半分ならば成り立つわけです。

この式に、$\cos \alpha=\displaystyle \frac{2}{3}$ を代入して、

$\displaystyle \frac{2}{3}=1-2\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}$

$\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{1}{6}$

$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$ で、$\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2} \gt 0$ なので、

$\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}$

これで求まりました。
そもそも「半角の公式」は、余弦の $2$ 倍角の公式を上のように
式変形をすることで導かれるのです。

等式の変形をするだけなので、「半角の公式」は暗記する必要はまったくありません。

$\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2}$

では $\cos$ も同様に求めてみましょう。

余弦の $2$ 倍角の公式で解決します。

$\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}$

ですが、

$\cos$ $2\alpha$$= 2\cos^2$$\alpha$$-1$
を用いて、
$\cos$$\alpha$$= 2\cos^2$$\displaystyle \frac{\alpha }{2}$$-1$
です。
よって、

$\displaystyle \frac{2}{3}=2\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}-1$

$\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{5}{6}$

角の条件より、

$\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}$

もちろん、

$\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}+\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha }{2}=1$

を用いてもＯＫです。（１）で $\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2}$ が求まっていますので。

$\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}$

$\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{\alpha }{2} }{\cos \displaystyle \frac{\alpha }{2} }$

を用いても解決します。

（１）（２）の結果を代入して、

$\tan \displaystyle \frac{\alpha }{2}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6} }{\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6} }$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}}$

$=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$

以上求まりました。

半角の公式
$\tan^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha}$

で解くのならば、

$\tan^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{1-\displaystyle \frac{2}{3} }{1+\displaystyle \frac{2}{3}}$

より、

$\tan \displaystyle \frac{\alpha}{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$
※角の条件より、符号は正

$\tan$ の半角の公式は、$\sin,\cos$ の半角の公式から容易に導けますね。
あるいは、正確に暗記しましょう。
分母と分子、どちらが正でどちらが負だったか、忘れて迷うくらいなら、はじめから暗記しない方がましです。