２倍角の公式
２倍角の公式
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}\)
\(\tan 2\alpha=\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-\tan^2 \alpha}\)
これらの式はすべて、加法定理から容易に導くことができますので、
無理に暗記しようと努める必要はありません。
アイデアは簡単で、加法定理において、\(\beta=\alpha\) とします。
\(\sin 2\alpha =\sin (\alpha+\alpha)\) ということです。
加法定理より、
\(\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cos \alpha+ \cos \alpha \sin \alpha\)
\(=2\sin \alpha \cos \alpha\)
これで導けました。
他も同様です。
また、余弦の \(2\) 倍角が \(3\) 通りありますが
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1\) を使って式変形するだけです。
\(\cos 2\alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha\) に代入します。
\(\cos 2\alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha\) を暗記したならば、
残り \(2\) パターンは無理な暗記をせず、導けるようにしましょう。
いずれも、いつでも導けるように練習しておくことが大事です。
たくさんの問題演習をしていくうちに、
受験直前期には自然と暗記しているというのが理想です。
どのくらいの難関大学を受験するのか次第ですが、いわゆる難問が解けるようになるためには、
「たくさん問題練習した」ということが必須です。
このたくさんの練習のうちに、自然と「\(2\) 倍角の公式」も呼吸のごとく使いこなせる、
という状態になっていくものです。
例題１
\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\) で
\(\sin \alpha=\displaystyle \frac{1}{3} \) のとき、次の値を求めよ。
（１）\(\sin 2\alpha\)
（２）\(\cos 2\alpha\)
解説
（１）\(\sin 2\alpha\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
なので、\(\cos \alpha\) を求めます。
\(\sin^2 \alpha+ \cos^2 \alpha=1\) より、
\( \cos^2 \alpha=\displaystyle \frac{8}{9} \)
\( \cos \alpha=\pm \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\) なので、
\( \cos \alpha=- \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
これより、
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
に代入して
\(\sin 2\alpha=2×\displaystyle \frac{1}{3}×(-\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}) \)
\(=-\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{9}\)
（２）\(\cos 2\alpha\)
\(\sin^2 2\alpha+ \cos^2 2\alpha=1\) より解く
あるいは、
\(\begin{eqnarray}\cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha \\ &=& 1- 2\sin^2 \alpha \\ &=& 2\cos^2 \alpha-1\end{eqnarray}\)
を用いて解く。
どの公式から解いてもＯＫですが、（１）で自分で求めた値が計算ミスしていたら・・・
ですので、安全なのは問題文で与えられた値である、\(\sin \alpha=\displaystyle \frac{1}{3} \) だけを使って計算する
\(\cos 2\alpha=1- 2\sin^2 \alpha\)
です。
\(\cos 2\alpha=1- 2(\displaystyle \frac{1}{3})^2\)
\(\cos 2\alpha=\displaystyle \frac{7}{9}\)
３倍角の公式
\(\sin 3\alpha=-4\sin^3 \alpha +3\sin \alpha\)
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha -3\cos \alpha\)
使用頻度は高くないので
必要あらば加法定理から導ければＯＫです。
一度練習しておきましょう。
\(\sin 3\alpha=\sin (2\alpha+\alpha)\)
に対して加法定理を用います。
\(=\sin 2\alpha \cos \alpha+\cos 2\alpha \sin \alpha\)
\(=2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha +(1-2\sin^2 \alpha)\sin \alpha\)
※\(\cos \) の \(2\) 倍角ですが、最終目標が \(\sin\) だけの式にすることなので
\(\cos 2\alpha= 1-2\sin^2 \alpha\) を使用
\(=2\sin \alpha \cos^2 \alpha +\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\)
\(=2\sin \alpha (1-\sin^2 \alpha) +\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\)
\(=2\sin \alpha -2\sin^3 \alpha +\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\)
\(=-4\sin^3 \alpha +3\sin \alpha\)
\(4\) 倍角の公式、\(5\) 倍角の公式・・・は必要ありません。