三角関数の合成・その２

前ページに続いて、三角関数の合成についてです。

「三角関数の合成」とは加法定理の逆操作である。

この最大のポイントを覚えておいてください。
このページでも同様の話しかでてきません。

例題１

$4\sin \theta -3\cos \theta$ を $r\sin (\theta+ \alpha)$ の形で表しなさい。

解説

①$r\sin (\theta+\alpha)=r\sin \theta \cos \alpha + r\cos \theta \sin \alpha$
②$r\sin (\theta+\alpha)=4\sin \theta -3 \cos \theta$

①と②の係数を比較します。

①$r\sin (\theta+\alpha)=$$r$$\sin \theta$$\cos \alpha$$+$$r$$\cos \theta$$\sin \alpha$
②$r\sin (\theta+\alpha)=$$4$$\sin \theta$ $-3$$\cos \theta$

$r\cos \alpha=4$
$r\sin \alpha=-3$
なので、以下のようになります。

$r=5$ は三平方の定理で求まりますが、
$\alpha$ が何度なのかは求まりません。
三角関数の表を見れば、$\alpha$ が $323°$ と $324°$ の間の角度であることはわかりますが、正確な角度は出せません。

このようなときは、$\alpha$ は何度であるか求めてなくてＯＫです。
最終的な解答は以下のようにします。

$4\sin \theta -3\cos \theta=5\sin (\theta+ \alpha)$

ただし、$\cos \alpha=\displaystyle \frac{4}{5}$、$r\sin \alpha=-\displaystyle \frac{3}{5}$

このように、 $\sin \alpha, \cos \alpha$ を書き添えることで、
$\alpha$ は特定したことになります。

例題２

$- \displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$ を $r\cos (\theta+ \alpha)$ の形で表しなさい。

解説

今まではずっと、$r\sin (\theta+ \alpha)$ の形に合成してきました。
なんと今度は $r\cos (\theta+ \alpha)$ の形にしろと。

大丈夫です。

とにかく、三角関数の合成は加法定理の逆と覚えておけばよいのです。

では、行きます。
コサインの加法定理の式です。これを用います。
$\cos (\theta+\alpha)=\cos \theta \cos \alpha-\sin \theta \sin \alpha$

①$r\cos (\theta+\alpha)=r\cos \theta \cos \alpha-r\sin \theta \sin \alpha$
②$r\cos (\theta+ \alpha)=- \displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$

①と②の係数を比較します。

①$r\cos (\theta+\alpha)=$$r$$\cos \theta$$\cos \alpha$$-$$r$$\sin \theta$$\sin \alpha$
②$r\cos (\theta+ \alpha)=$$-$$\displaystyle \frac{1}{2}$$\sin \theta +$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$$\cos \theta$

つまり、

$r\cos \alpha=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

かつ

$r\sin \alpha=\displaystyle \frac{1}{2}$

$r=1$ と $\alpha=30°$ と求まります。

よって、$- \displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta =\cos (\theta+30°)$

参考

この問題を、$r\sin (\theta+ \alpha)$ の形に合成するとどうなるのか見ておきましょう。

答えを書いてしまいますが（自分で確かめてね！）

$- \displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} =\sin (\theta+120°)$

となります。

そもそも
$\sin \theta= \cos (\theta-90°)$ なんですからね。
$\sin (\theta+120°)=\cos(\theta+30°)$
になるに決まっているのです！

$\cos$ への合成、おそれるに足らずです！