三角比の拡張・単位円

単位円の導入

直角三角形の辺の比から三角比を定義しました。
当然ですが、 θ は鋭角の範囲に限られていました。

しかし・・・

100° とか 250° とか、そんな角にも三角比を使えるようにしたい!
つまり、より広い範囲に適用できるようにしたい。
このように、三角比の拡張について考えます。

しかし・・・250° なんて三角形の内角には不可能です。
そんな拡張なんて無理な気がしますね。

この拡張のための突破口となるのが、斜辺の長さが 1 の直角三角形です。

角度とは回転である

斜辺の長さが 1 の直角三角形は無数にあります。
θ の大きさによって無数にあります。

高校数学無料学習サイトko-su- 三角比 単位への拡張 図1

ここで

θ の大きさを、どんどん大きくしていく

ということを考えます。
これって、つまり「回転」です。

高校数学無料学習サイトko-su- 三角比 単位への拡張 図2

これって 長さ 1 の線分が回転しているようではないですか!!
三角比って、円と関係するんですね!!

回転の中心を座標平面の原点におくと・・・
おお!!座標と相性ばっちりです!!

高校数学無料学習サイトko-su- 三角比 単位への拡張 図3-2

これこそが三角比の拡張版
単位円による三角比の定義です。
単位円とは、半径が 1 で、中心が原点の円のことです。

半径 1 の線分 OP が、(1,0) をスタート地点として、
反時計回りに θ 回転したとき、
その線分の端、点 P が到達した地点の座標を (cosθ,sinθ) とします。

この定義に従えば、「直角三角形の内角」にしばられることなく、sin120° や、cos150°を求めることができます。
つまり、90° を超えた角に対して、三角比を定義することができるわけです。

高校数学無料学習サイトko-su- 三角比 単位への拡張 図4

ちなみに、水色の直角三角形の辺の比から、点 P の座標が求まります。

Px 座標 =cos120°=12

Py 座標 =sin120°=32

もちろん、tan120°=yx=3
となります。
1 次関数の傾きとまったく同じものです。
OP の傾きが tanθ です。

例題1

(1)135° の正弦、余弦、正接の値を求めなさい。

(2)150° の正弦、余弦、正接の値を求めなさい。

解説

で、結局出題されるのは有名角です。
30°,45° が関係する角のことです。
今まで通りに、三角定規の辺の比を用いて、三角比を求めます。

現カリキュラムでは、数学Ⅰにおいては、180° までの角を扱います。
数学Ⅱにおいて 180° を超えた角まで扱います。
このページでは、 180° までの角を説明しますが、
180° を超えた角の三角比も上で説明した内容とかわりはありません。

(1)135° の正弦、余弦、正接の値

135° 回転した OP を単位円上にとります。
※作図は半円で十分ですね。

高校数学無料学習サイトko-su- 三角比 135

P の 座標は、直角三角形の辺の比からわかります。

Px 座標 =cos135°=12・・・負ですよ!

Py 座標 =sin135°=12

このように、作図して求めます。
完全丸暗記をする必要はありません。

もちろん、tan135°=yx=1
となります。

(2)150° の正弦、余弦、正接の値

150° 回転した OP を単位円上にとります。
※作図は半円で十分ですね。

高校数学無料学習サイトko-su- 三角比 150

P の 座標は、直角三角形の辺の比からわかります。

Px 座標 =cos150°=32・・・負ですよ!

Py 座標 =sin150°=12

tan150°=yx=13
となります。

以上、結局は有名角の三角比しか扱いません。
90° から 180° の間の角としては、120°,135°,150° のみです。