斜辺の長さが \(1\) の直角三角形

サインとコサインを長さとして扱う

三角比は角度のみで定まり、直角三角形のサイズには無関係であることを
確認しました。

そこで・・・

斜辺の長さが \(1\) の直角三角形で三角比を見てみましょう。

サインとコサインは以下のようになります。

サイン
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{y}{1}=y\)

コサイン
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{x}{1}=x\)

つまり、\(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) の値を「直角三角形の辺の長さ」として
扱うことができるようになりました。

比という漠然とした値を扱うよりも、
「長さ」という具体物を扱う方がいろいろ考えやすいことも多いでしょう。

今後はこの、斜辺の長さが \(1\) の直角三角形もどんどん活用していきます。

タンジェントは、直線の傾き

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{y}{x}\)

タンジェントは、斜辺の長さとは無関係な値です。

タンジェントは、直線の傾きです。
中学 \(2\) 年生のときに学習した \(1\) 次関数の傾きです。
斜辺の傾きを表しています。

三角比の相互関係

三角比の相互関係として、代表的な \(3\) つの式があります。
必ず暗記しましょう。

• \(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\)
• \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
• \(\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

以下、どのように導かれるのかを見ていきましょう。

三角比の相互関係の導出

タンジェントに関して、以下の式が成り立ちます。

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

これは \(2\) つめの式になります。

さらに、この直角三角形に三平方の定理を適用すると、
\(1\) つめの式が導かれます。

\(\sin \theta × \sin \theta+\cos \theta × \cos \theta=1^2\)

ちなみに、\(\sin \theta × \sin \theta=\sin^2 \theta\) と表記します。
ただの決め事なので覚えるしかありません。

この表記で改めて三角比の相互関係・その１をかきます。

\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\)

この式の両辺を \(\cos^2 \theta\) で割ると

\(\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}+\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) なので

\(\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}\) であり、これを使うと

\(\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

これで \(3\) つめの式が導けました。

\(1\) つめと \(2\) つめの式は直感的な理解をしてください。
\(3\) つめは公式として覚えておきましょう。

例題１

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{3}\) のとき、\(\cos \theta\) と \(\tan \theta\) の値を求めなさい。ただし \(\theta\) は鋭角とする。

解説

先の三角比の相互関係を使えば、ただの計算問題です。

\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\)
に、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{3}\) を代入すれば、

\(\cos^2 \theta=\displaystyle \frac{8}{9}\)

\(\cos \theta=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{8}{9}}\)

\(\theta\) は鋭角なので、\(\cos \theta\) は \(0\) より大きい。

よって、

\(\cos \theta= \sqrt{\displaystyle \frac{8}{9}}\)

\(=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

また、

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

に、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{3}\) と \(\cos \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

を代入すれば、\(\tan \theta\) が求まる。

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

とは、
\(\tan \theta=\sin \theta ÷ \cos \theta\)
のことなので、

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{1}{3} ÷ \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}\)

別解１

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{3}\) となる直角三角形をかいてみましょう。

あとは三平方の定理を使えば、直角三角形の横の長さ、 \(\cos \theta\) が求まります。

\(\cos \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\tan \theta\) は定義どおり計算します。

別解２

もちろん、斜辺が \(1\) でない直角三角形で解いても構いません。

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{3}\) なのですから下図です。

三平方の定理で \(x\) を求めて、
あとは三角比の定義通りに比の値を求めます。
こちらの方が計算が楽かもしれまんせん。

例題２

\(\tan \theta=3\) のとき、\(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) の値を求めなさい。ただし \(\theta\) は鋭角とする。

解説

相互関係からガツガツ計算して解いてもよし。
図形的に解いてもよし。

この図で解くならば、三平方の定理より
\(1^2=t^2+(3t)^2\)
\(t\) は \(0\) より大きいので

\(t=\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}\)

よって

\(\cos \theta=t=\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}\)

\(\sin \theta=3t=\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}\)