\(\sin 0°,\cos 90°,\tan 180°\)

前回、「単位円による三角比の定義」を学習しました。

もはや「直角三角形」とは無関係に、三角比が定義されたわけです。

その結果、\(0°\) から \(180°\) まで、あらゆる角度の三角比が
可能となりました。
※本当は \(300°\) でもいいんですが、現在の数学Ⅰの学習範囲に則り、\(180°\) までを扱います。

三角比の値が、容易に求められる角度は限られており、
有名角に関わる角度のみであることも確認しました。

つまり、
\(30°,45°,60°,120°,135°,150°\) の三角比は求められます。
それ以外の角度、たとえば \(140°\) の三角比は、
三角比の表を用いておよその値を得ることしかできません。

今回は追加で、\(0°,90°,180°\) の三角比について見ていきましょう。
これらの角も、三角比が求められる特別な角度です。

\(0°\) の正弦、余弦、正接

\(0°\) の正弦、余弦、正接の値を求めましょう。

\(OP\) を \(0°\) 回転させたときの点 \(P\) の位置を図示します。
※もちろん回転していません。

点 \(P\) の \(x\) 座標 \(=\cos 0°=1\)

点 \(P\) の \(y\) 座標 \(=\sin 0°=0\)

\(\tan 0°=\displaystyle \frac{y座標}{x座標}=0\)
となります。

\(90°\) の正弦、余弦、正接

\(90°\) の正弦、余弦、正接の値を求めましょう。

\(OP\) を \(90°\) 回転させたときの点 \(P\) の位置を図示します。

点 \(P\) の \(x\) 座標 \(=\cos 90°=0\)

点 \(P\) の \(y\) 座標 \(=\sin 90°=1\)

\(\tan 90°\) は定義されません。

なんじゃこりゃ！？という感じですけども、

\(\tan 90°=\displaystyle \frac{y座標}{x座標}=\displaystyle \frac{1}{0}\)

数学において、\(0\) で割ることはできないのです。
このような値はそもそも定義しない、というのが数学の態度です。
※よくわからん！という人は\(\tan 90°\) は定義しない、を丸暗記しましょう。
大雑把に言うと、\(0\) で割ると無限大になってしまうのです。
一定の値として定まらないんです。

\(180°\) の正弦、余弦、正接

\(180°\) の正弦、余弦、正接の値を求めましょう。

\(OP\) を \(180°\) 回転させたときの点 \(P\) の位置を図示します。

点 \(P\) の \(x\) 座標 \(=\cos 180°=-1\)

点 \(P\) の \(y\) 座標 \(=\sin 180°=0\)

\(\tan 0°=\displaystyle \frac{y座標}{x座標}=0\)
となります。

コラム・そもそも三角比って何？

このあたりから、もやもやとわからなくなってくる人が多いようです。

教科書、先生のいう通り勉強した、問題も解ける。
しかし・・・

そもそも三角比って何なの？
直角三角形で定義していたときは、なんとなく納得できた。
測量とか建築とかで必然的に使うだろうし。

しかし・・・

なんで円の座標で定義するの？
これっていったいなんなの？
何のためにこんな拡張するの？

このような疑問で前に進めなくなってしまう人も多いようです。

以前、使用できる範囲を広げる、拡張したくなるのが自然の流れ・・・
という論調でかきました。
単位円による定義に移行していくのは必然であると。

種明かしをすれば、これはフィクションです。
教育的な配慮をしたフィクションです。
嘘も方便です。

三角比が大きな角で使えないから不便だ！
ということを思った昔の人はまずいなかったであろうし、
必要に迫られていない状況下で、「三角比を拡張する」など頭の片隅にものぼらなかった
であろう人がほぼすべてです。

しかし、

この三角比（いずれ三角関数へと進化）は、
何千年もかけてコツコツと積み上げてきた数学研究の成果、人類の叡智なのです。

ある日突然、誰かが思いついたものじゃないんです。
大天才でも思いつかないようなものなのです。
大天才たちが、数学の研究をリレーしてリレーして、ようやく辿りついたものなのです。
ですから、一般人であるあなたが、なんなのコレ？意味不明、と思う、それが普通なんです。

で結局・・・何？

三角比を拡張したのはなぜか。

ずばり結論を申しますと

背後により広く美しい構造が広がっているから。
拡張することでその構造を記述できるから。
その広がりのほんの一部分が、直角三角形の辺の比という
実生活に身近なものとして表れていただけなのです。

信じられないことに、
三角関数は、複素数や指数関数（\(y=a^{x}\) ）と結びついて、
驚異的な世界を人類に見せてくれます。
※複素数も指数関数も数学Ⅱの範囲で学習します。

世界で最も美しい数学公式と呼ばれる \(e^{i\pi}=-1\) にも三角関数がひそんでいます。
※この式がなんのことだか意味不明、でかまいません。

もはや直角三角形などどこにもありません。
ただ「構造」があるのです。
この世界を作っている構造です。

もう少し具体的で身近な例を挙げると
CGとかシンセサイザーとか、三角関数なしでは成立しません。
現代の数学、工学で必須の道具となっています。

数学の学習を進めていくことで、ここまで到達する人もいれば、しない人もいます。

何はともあれ、
教科書、先生のいう通り勉強した、問題も解ける。
という状態を目指しましょう。