共通集合と和集合

集合 \(A,B\) の両方に入っている要素全体の集合を \(A\) と \(B\) の共通部分といい、
\(A \cap B\)
で表します。
\(A\) かつ \(B\) と読みます。

集合 \(A,B\) の少なくとも一方に入っている要素全体の集合を \(A\) と \(B\) の和集合といい、
\(A \cup B\)
で表します。
\(A\) または \(B\) と読みます。

例
\(Ａ=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
\(B=\{2,4,6,8,10\}\)
のとき、
\(A \cap B=\{2,4,6\}\)
\(A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,10\}\)

例2
\(A=\{x | -2 \lt x \lt 3\}\)
\(B=\{x | 0 \lt x \lt 3\}\)
のとき、\(B \subset A\)

補集合

全体集合 \(U\) とその部分集合を \(A\) とします。
\(U\) の要素であって、 \(A\) に属さない要素の集合を \(\overline{ A }\) で表します。
これを \(A\) の補集合といいます。
※ \(\overline{ A }\) は \(A\) バーと読みます。

例
\(U=\{3,6,9,12,15\}\)
\(A=\{12,15\}\)
のとき、\(\overline{ A }=3,6,9\)

例題１

\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) を全体集合とする。
\(U\) の部分集合、\(A=\{1,2,3,4\}\) 、\(B=\{2,4,6,8\}\) について次の集合を求めなさい。
（１）\(A \cap B\)
（２）\(A \cup B\)
（３） \(\overline{ A }\)
（４） \(\overline{ A } \cap B\)

解説

ベン図による図示がおすすめです。
図を見ながら答えましょう。

（１）\(A \cap B\)
図より、\(A \cap B=\{2,4\}\)

（２）\(A \cup B\)
\(A \cup B=\{1,2,3,4,6,8,\}\)

（３） \(\overline{ A }\)
\(\overline{ A }=\{5,6,7,8,9\}\)

（４） \(\overline{ A } \cap B\)
\(\overline{ A } \cap B=\{6,8\}\)