組合せ
組合せ
異なる \(n\) 個のものから \(r\) 個を選んで組にしたものを、
\(n\) 個から \(r\) 個とる組合せといい、その総数は
\(_n \mathrm{ C }_r=\displaystyle \frac{_n \mathrm{ P }_r}{r!}\)
例１
\(4\) 人から、罰ゲームをする \(2\) 人を決めます。誰と誰が罰ゲームをするのか、その組み合わせは
\(_4 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{4×3}{2×1}=6\)（通り）
例２
\(5\) 人から \(3\) 人を選ぶ組み合わせは
\(_5 \mathrm{ C }_3=\displaystyle \frac{5×4×3}{3×2×1}=10\)（通り）
順列との違いは、\(r\) 個を選んだものを、一列に並べないということです。
選んで、それで終わり、これが組合せです。
順列と組合せの関係
異なる \(n\) 個のものから \(r\) 個を選んで、それで終わり。\(_n \mathrm{ C }_r\)
異なる \(n\) 個のものから \(r\) 個を選んで、一列に並べる。\(_n \mathrm{ P }_r\)
しっかりと区別しましょう。
上の例でも見た通りですが、\(4\) 人から、罰ゲームをする \(2\) 人を選ぶ組み合わせは
\(_4 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{4×3}{2×1}=6\)（通り）ですが、
もし、罰ゲームを先にやる人と後にやる人、順番まで決めるなら
\(_4 \mathrm{ P }_2=4×3=12\)（通り）です。
組合せなら、「\(A,B\) 」の \(2\) 人が罰ゲーム
順列なら、「\(A,B\)」 の順で罰ゲームと「\(B,A\)」 の順で罰ゲーム
と \(2\) 倍の関係になっています。
これは、選ばれた \(2\) 人を一列に並べる \(2!=2\) 通り、この \(2\) 倍になることを意味しています。
繰り返しになりますが、\(4\) 人から \(2\) 人を選んで並べるのが \(12\) 通り。
その中で、同じ \(2\) 人が選ばれているもの（\((A,B)\) と\((B,A)\)のように）を、同一とみなすなら、\(12÷2=6\) （通り）
これが組合せです。
順列を重複の数で割ったものが組合せなのです。
例
\(5\) 人から \(3\) 人を選び並べると
\(_5 \mathrm{ P }_3=5×4×3=60\)（通り）
並び方を無視すれば
\(ABC\)
\(ACB\)
\(BAC\)
\(BCA\)
\(CAB\)
\(CBA\)
の \(6\) 通りは同一の組合せです。
※この \(6\) 通りは、\(3!=3×2×1\) で求まります。
よって、\(5\) 人から \(3\) 人を選ぶ組み合わせは
\(_5 \mathrm{ C }_3=\displaystyle \frac{5×4×3}{3×2×1}=10\)（通り）
組合わせの関係式
以下の式が成り立ちます。
\(_n \mathrm{ C }_r={}_n\mathrm{ C }_{n-r}\)
例
\(_6 \mathrm{ C }_2={}_6\mathrm{ C }_{6-2}={}_6\mathrm{ C }_{4}\)
\(_6 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{6×5}{2×1}=15\)（通り）
\(_6 \mathrm{ C }_4=\displaystyle \frac{6×5×4×3}{4×3×2×1}=15\)（通り）
確かに一致しますね。
なぜこの関係式が成り立つのか。
\(A,B,C,D,E,F\) の \(6\) 人から \(4\) 人の掃除当番を選んでみましょう。
例えば、\(A,C,D,F\) を掃除当番として選んだとします。
このとき、
掃除当番にならない \(2\) 人を選んだのと同じことです。
\(B,E\) が掃除当番にならない、と選べば、\(A,C,D,F\) を掃除当番として選ぶことになります。
つまり、
\(6\) 人から \(4\) 人を選ぶことと
\(6\) 人から \(2\) 人を選ぶことは、
一致するのです。
つまり組合せの総数とは、
異なる \(n\) 個のものを \(r\) 個グループと \(n-r\) 個グループに分ける分け方の総数と一致します。
例題１
男子 \(3\) 人、女子 \(4\) 人の合計 \(7\) 人のグループから、\(4\) 人を選ぶとき、次の問いに答えなさい。
（１）\(4\) 人の選び方は全部で何通りありますか。
（２）男子 \(2\) 人、女子 \(2\) 人となる選び方は何通りありますか。
（３）必ず、\(A\) くん （男子）と \(P\) さん(女子）が選ばれる選び方は何通りありますか。
解説
（１）\(4\) 人の選び方は全部で何通りありますか。
男女の区別をまったく考慮する必要がありません。
\(7\) 人から \(4\) 人を選ぶ組合せより、
\(_7 \mathrm{ C }_4=\displaystyle \frac{7×6×5×4}{4×3×2×1}=35\)（通り）
※もちろん、選ばれない \(3\) 人に着目しても同じです。
\(_7 \mathrm{ C }_3=\displaystyle \frac{7×6×5}{3×2×1}=35\)（通り）
（２）男子 \(2\) 人、女子 \(2\) 人となる選び方
男子 \(3\) 人から \(2\) 人を選ぶ組合せは、\(_3 \mathrm{ C }_2\) 通り
女子 \(4\) 人から \(2\) 人を選ぶ組合せは、\(_4 \mathrm{ C }_2\) 通り
よって、求める総数は、
\(_3 \mathrm{ C }_2×_4 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{3×2}{2×1}×\displaystyle \frac{4×3}{2×1}=18\) 通り
（３）必ず、\(A\) くん （男子）と \(P\) さん(女子）が選ばれる
\(4\) 人のうち、\(2\) 人はすでに選ばれています。残りの \(2\) 人の選ばれ方の総数を求めればよい。
全 \(7\) 人のうち、\(A,P\) を除く \(5\) 人から、\(2\) 人を選べばよいので、
\(_5 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{5×4}{2×1}=10\) 通り