組合せ

場合の数において、最重要の「組合せ」
練習問題を通じて、理解を深めましょう。

例題１

\(6\) 人を、\(A,B\) の \(2\) つの部屋に分ける。次の問いに答えなさい。

（１）\(A\) に \(4\) 人、\(B\) に \(2\) 人となる分け方は全部で何通りありますか。
（２） \(6\) 人の分け方は全部で何通りありますか。ただし、空き部屋はないようにします。

解説

（１）\(A\) に \(4\) 人、\(B\) に \(2\) 人となる分け方

\(6\) 人から \(B\) に入る \(2\) 人を選ぶ組合せより、

\(_6 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{6×5}{2×1}=15\)（通り）

※自動的に残り \(4\) 人が \(A\) と決まります。

（２） \(6\) 人の分け方は全部で何通りありますか。

\(2\) 通りの解法を紹介します。どちらも確実に身につけましょう。

きっちり場合分けをやりきる

\(A\) に \(5\) 人、\(B\) に \(1\) 人となる分け方は、\(_6 \mathrm{ C }_1=6\)（通り）

\(A\) に \(4\) 人、\(B\) に \(2\) 人となる分け方は、\(_6 \mathrm{ C }_2=15\)（通り）

\(A\) に \(3\) 人、\(B\) に \(3\) 人となる分け方は、\(_6 \mathrm{ C }_3=20\)（通り）

\(A\) に \(2\) 人、\(B\) に \(4\) 人となる分け方は、\(_6 \mathrm{ C }_2=15\)（通り）

\(A\) に \(1\) 人、\(B\) に \(5\) 人となる分け方は、\(_6 \mathrm{ C }_1=6\)（通り）

よって、\(6+15+20+15+6=62\) 通り

\(6\) 人に \(A,B\) を選ばせる

\(6\) 人を \(1,2,3,4,5,6\) と名付けます。
それぞれ、どちらの部屋にするのか選ばせると、下の樹系図のようになります。
図は途中までかいたものです。

でも、最後までかかなくても、樹形図の枝分かれが規則正しいため、計算で求まることがわかります。

すべて、\(A\) か \(B\) の \(2\) つの枝分かれなので、

\(2^6=64\) 通り

以上求まりましたって・・・

さっきと答えが違いますね。

どこで間違っているのか、考えてください。

今回は、「ただし、空き部屋はないようにします」という条件がありました。

つまり、上の樹形図の中の
\(AAAAAA\) と \(BBBBBB\) の \(2\) 通りは、除外しなくてはなりません。

よって、
\(2^6-2=62\) 通り

先ほどの答えと一致しましたね！

例題２

何人かを、グループ分けします。次の問いに答えなさい。

（１）\(6\) 人を、\(3\) 人、\(2\) 人、\(1\) 人の \(3\) グループに分ける分け方は全部で何通りありますか。
（２）\(4\) 人を、\(2\) 人、\(2\) 人の \(2\) グループに分ける分け方は全部で何通りありますか。
（３）\(6\) 人を、\(2\) 人、\(2\) 人、\(2\) 人の \(3\) グループに分ける分け方は全部で何通りありますか。

解説

（１）\(6\) 人を、\(3\) 人、\(2\) 人、\(1\) 人

\(6\) 人から \(3\) 人グループになる \(3\) 人を選ぶと、\(_6 \mathrm{ C }_3=20\)（通り）

残り \(3\) 人から、 \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選ぶと、\(_3 \mathrm{ C }_2=3\)（通り）

最後の \(1\) 人は自動的に \(1\) 人グループです。

よって、\(20×3×1=60\) 通り

別解・順序は問わない

※はじめに、\(6\) 人から \(1\) 人グループになる \(1\) 人を選ぶと 、\(_6 \mathrm{ C }_1=6\)（通り）

残り \(5\) 人から、 \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選ぶと、\(_5 \mathrm{ C }_2=10\)（通り）

最後の \(3\) 人は自動的に \(3\) 人グループです。

よって、\(6×10×1=60\) 通り

（２）\(4\) 人を、\(2\) 人、\(2\) 人

非常に間違いやすい問題です。

気を付けるべき問題として、記憶に刻みつけておきましょう。

では、よくある間違い答案からです。

\(4\) 人から \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選ぶと、\(_4 \mathrm{ C }_2=6\)（通り）

残り \(2\) 人は自動的に \(2\) 人グループです。

よって、\(6\) 通り

一見完璧な答案に見えますが・・・間違っています。
上の何が間違っているのでしょうか？

結論を言えば、

\(2\) 人グループが \(2\) つあって区別がないので、\(2\) で割らないといけないのです。

そんなこと言われても・・・
分かったような分からないような気分になるのは普通です。

では書き出しでお見せしますと

まず \(4\) 人から \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選ぶと、\(_4 \mathrm{ C }_2=6\)（通り）

\(A,B,C,D\) の \(4\) 人から \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選んでみます。

\(A,B\)
\(A,C\)
\(A,D\)
\(B,C\)
\(B,D\)
\(C,D\)
の \(6\) 通りです。確かに。

では、 \(2\) 人を選んだ時点で決まった、残りの \(2\) 人もあわせて書いてみましょう。

\(A,B\) と \(C,D\)・・・①
\(A,C\) と \(B,D\)・・・②
\(A,D\) と \(B,C\)・・・③
\(B,C\) と \(A,D\)・・・④
\(B,D\) と \(A,C\)・・・⑤
\(C,D\) と \(A,B\)・・・⑥

いかかがですか。
①と⑥が重複していることが見てとれます。
同様に、②と⑤、③と④が重複しています。

\(6÷2=3\) 通り

これが正しい答えなのです！

（３）\(6\) 人を、\(2\) 人、\(2\) 人、\(2\) 人

\(6\) 人から \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選ぶと、\(_6 \mathrm{ C }_2=15\)（通り）

残り \(4\) 人から \(2\) 人グループになる \(2\) 人を選ぶと、\(_4 \mathrm{ C }_2=6\)（通り）

最後の \(2\) 人は自動的に \(2\) 人グループです。

より、\(15×6×1=90\) 通り

これではまだ最後の答えにならないことは、（２）で学習しましたね。

今回は重複はいくつでしょうか？
今回は、\(3!=6\) 回の重複をしています。

ですから、\(90÷6=15\) （通り）
これが正しい答えです。

この重複がよくわかるように、自分でストーリーを作りながら解きましょう。

ていねいに詳しく見てみると

\(6\) 人から \(P\) 部屋に入る \(2\) 人を選ぶと、\(_6 \mathrm{ C }_2=15\)（通り）

残り \(4\) 人から \(Q\) 部屋に入る \(2\) 人を選ぶと、\(_4 \mathrm{ C }_2=6\)（通り）

最後の \(2\) 人は自動的に \(R\) 部屋に入ります。

つまり、\(15×6=90\) 通り

ただし、\(P,Q,R\) のような区別は本来ないので、以下のように、\(3!=6\) 通りの重複があります。

よって、\(90÷6=15\) 通り

以上求まりました。