組合せと確率
組合せと確率
基本的に確率は、「場合の数」を求めることに終始します。
適切に場合の数を求められるように、必要ならば「場合の数」の単元を読み返しましょう。
例題１
男子 \(4\) 人、女子 \(3\) 人の合計 \(7\) 人から、\(3\) 人の代表を選ぶとき、次の確率を求めなさい。
（１）男子だけが選ばれる確率
（２）\(1\) 人だけ男子が選ばれる確率
解説
両問に共通の分母をまず求めておきましょう。
起こりうる全場合の数は、\(7\) 人から、\(3\) 人を選ぶ組合せで、
\(_7 \mathrm{ C }_3=\displaystyle \frac{7×6×5}{3×2×1}=35\)（通り）
（１）男子だけが選ばれる確率
男子 \(4\) 人から、\(3\) 人の代表を選ぶ場合、
\(_4 \mathrm{ C }_3=_4 \mathrm{ C }_1=4\)（通り）
よって求める確率は、\(\displaystyle \frac{4}{35}\)
（２）\(1\) 人だけ男子が選ばれる確率
男子 \(1\) 人、女子 \(2\) 人が選ばれるということです。
男子 \(4\) 人から、\(1\) 人の代表を選ぶ場合、
\(_4 \mathrm{ C }_1=4\)（通り）
女子 \(3\) 人から、\(2\) 人の代表を選ぶ場合、
\(_3 \mathrm{ C }_2=_3 \mathrm{ C }_1=3\)（通り）
よって求める確率は、\(\displaystyle \frac{4×3}{35}=\displaystyle \frac{12}{35}\)
例題２
赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個の合計 \(7\) 個から、\(3\) 個の玉を取り出す。次の確率を求めなさい。
（１）赤玉だけ取り出される確率
（２）赤白混合で取り出される確率
解説
（１）赤玉だけ取り出される確率
取り出された \(3\) 個の玉の色は
（赤赤赤）
（赤赤白）
（赤白白）
（白白白）
の \(4\) パターンだから、答えは \(\displaystyle \frac{1}{4}\)
これが間違いだってわかりますか？
それぞれが、根本事象ではないからです！
確率を求めるときは、同じものを区別するように心がけましょう！
起こりうる全場合の数は、\(7\) 個から、\(3\) 個を選ぶ組合せで、
\(_7 \mathrm{ C }_3=\displaystyle \frac{7×6×5}{3×2×1}=35\)（通り）
赤玉 \(4\) 個から、\(3\) 個が選ばれる場合、
\(_4 \mathrm{ C }_3=_4 \mathrm{ C }_1=4\)（通り）
よって求める確率は、\(\displaystyle \frac{4}{35}\)
※ちなみに、例題１の（１）と完全に同じ問題です。違いは、玉なのか、人なのか、それだけだからです。完全に同一問題です。
（２）赤白混合で取り出される確率
（赤赤白）の場合と、（赤白白）の場合がありますね。
それぞれ求めましょう。
（赤赤白）の場合
赤 \(4\) 個から、\(2\) 個選ぶ場合、
\(_4 \mathrm{ C }_2=6\)（通り）
白 \(3\) 個から、\(1\) 個選ぶ場合、
\(_3 \mathrm{ C }_1=3\)（通り）
より、\(6×3=18\) 通り
（赤白白）の場合
赤 \(4\) 個から、\(1\) 個選ぶ場合、
\(_4 \mathrm{ C }_1=4\)（通り）
白 \(3\) 個から、\(2\) 個選ぶ場合、
\(_3 \mathrm{ C }_2=3\)（通り）
より、\(4×3=12\) 通り
以上、合わせて、\(18+12=30\) 通りなので求める確率は
\(\displaystyle \frac{30}{35}= \displaystyle \frac{6}{7}\)
※（赤赤白）の場合の確率 \(\displaystyle \frac{18}{35}\) と（赤白白）の場合の確率 \(\displaystyle \frac{12}{35}\) の和、 \(\displaystyle \frac{18}{35}+ \displaystyle \frac{12}{35}=\displaystyle \frac{30}{35}= \displaystyle \frac{6}{7}\)
でもＯＫです。
別解・余事象の利用
取り出された \(3\) 個の玉の色は
（赤赤赤）
（赤赤白）
（赤白白）
（白白白）
の \(4\) パターンです。
（赤赤赤）の確率は（１）で求めていて、\(\displaystyle \frac{4}{35}\)
より、（白白白）の確率を求めて、全体から引きます。
白 \(3\) 個から、\(3\) 個選ぶ場合、
\(_3 \mathrm{ C }_3=1\)（通り）なので、（白白白）の確率は \(\displaystyle \frac{1}{35}\)
よって、赤白混合で取り出される確率は、全場合から、（赤赤赤）と（白白白）の確率を引いたものなので、
\(1-\displaystyle \frac{4}{35}-\displaystyle \frac{1}{35}=\displaystyle \frac{6}{7}\)