独立試行の確率

独立試行の確率

独立な試行

2つの試行 \(S,T\) ついて、試行の結果が互いに影響を与えないとき、試行 \(S,T\) は独立であるといいます。


裏返しの黒いカード \(1,2,3,4\) から \(1\) 枚を選び、表にする試行を \(S\)
裏返しの赤いカード \(1,2,3\) から \(1\) 枚を選び、表にする試行を \(T\)

とすると、\(S\) と \(T\) は独立な試行である。

試行の結果が互いに影響を与えないのは明白ですね。

ともに起こる確率

上の試行 \(S,T\) ついて、

・黒いカードの数が奇数である確率は、\(\displaystyle \frac{2}{4}=\displaystyle \frac{1}{2}\)

・赤いカードの数が \(1\) である確率は、\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

これは独立である。

そして、黒いカードの数が奇数でありかつ、赤いカードの数が \(1\) である確率は、

\(\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{1}{6}\)

このように、ともに起こる確率は、確率の積で求めることができます。

これは最重要!!です。

ものすごく、ものすごく良く使うので、確実に身につけないといけません。

なぜこれが成り立つのか。

感覚的にわかる。
という状態になっているのが理想なのですが・・・

「場合の数」の学習時に、きちんと樹形図をかいて、根本事象全体のイメージをつかむ訓練をしてきていれば、感覚的にわかるはずです。

上の例において、試行 \(S,T\) をともに行った場合の、事象全体をかき出すと以下のようになります。

高校数学無料学習サイトko-su- 独立事象の確率01

この中で、

黒いカードの数が奇数かつ、赤いカードの数が \(1\) となる事象
に印をつけます。

高校数学無料学習サイトko-su- 独立事象の確率02

全 \(12\) 通りのうち、 \(2\) 通りが該当します。求める確率は、 \(\displaystyle \frac{2}{12}=\displaystyle \frac{1}{6}\) です。

これが、確率の積で求まるという意味を以下で確認しましょう。

試行 \(S\) における、\(4\) 通りの枝分かれのうち、\(2\) 通りのみが今回該当します。

高校数学無料学習サイトko-su- 独立事象の確率03

そして、試行 \(T\) における、\(3\) 通りの枝分かれのうち、\(1\) 通りのみが今回該当します。

高校数学無料学習サイトko-su- 独立事象の確率04

よって、\(\displaystyle \frac{2}{4}×\displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{2}{12}\)

全 \(12\) 通りが全事象ですが、そのうちの \(2\) 通りが該当するものです。

これが、ともに起こる確率が、それぞれの確率の積で求まる理由です。

例題1

\(2\) 枚の \(100\) 円玉を投げるとき、 \(2\) 枚とも表がでる確率を求めなさい。

解説

この例題は、確率の一番はじめのページで、確率の意味を理解するための初歩の初歩として取り上げた問題です。
この問題を、確率の積で解きましょう。

\(2\) 枚の \(100\) 円玉を、ア、イと区別します。

アが表がでる確率は、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

イが表がでる確率は、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

よって、\(2\) 枚とも表がでる確率は、

\(\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{4}\)

例題2

\(A\) くんはフィギュアスケートの選手です。\(A\) くんが \(2\) 回転ジャンプを成功する確率は
\(\displaystyle \frac{9}{10}\) です。

\(A\) くんが \(3\) 連続で \(2\) 回転ジャンプを成功する確率を求めなさい。

解説

\(3\) 回のジャンプは独立です。
※実際は心理的影響とか体力とかあるでしょうけど、特に断りのない限り数学では独立です。

より、
\((\displaystyle \frac{9}{10})^3=\displaystyle \frac{729}{1000}\)

以上求まりました。

ちなみに \(4\) 連続成功の確率は、\((\displaystyle \frac{9}{10})^4=\displaystyle \frac{6561}{10000}\)
約 \(65\) %です。

\(5\) 連続成功の確率は、\((\displaystyle \frac{9}{10})^5=\displaystyle \frac{59049}{100000}\)
約 \(59\) %です。

成功率 \(90%\) で \(2\) 回転ジャンプが成功できるなら、趣味で楽しんでいる程度の人からしたら、「オレできる!」
っていうレベルですけどね。

しかし、試合でノーミスとなるとかなり苦しいですね・・・
\(5\) 連続成功の確率は約 \(59\) %しかありません。

試合でノーミスとなると、\(1\) 回の成功率はほぼ \(100\) %にしておかないといけません。

例題3

\(B\) くんは受験生です。\(B\) くんが \(P\) 大学に合格する確率は \(\displaystyle \frac{2}{5}\) であり、

\(Q\) 大学に合格する確率は \(\displaystyle \frac{2}{5}\) 、\(R\) 大学に合格する確率は \(\displaystyle \frac{2}{5}\) です。

\(B\) くんが\(P,Q,R\) 大学をすべて受験したとき、少なくとも \(1\) 校合格する確率を求めなさい。

解説

「少なくとも」ときたら余事象を考える。

「場合の数」のときと同様です。

すべて不合格となる確率は、

\((1-\displaystyle \frac{2}{5})^3=\displaystyle \frac{27}{125}\)

より、少なくとも \(1\) 校合格する確率は

\(1-\displaystyle \frac{27}{125}=\displaystyle \frac{98}{125}\)
約 \(78\) %です。
かなりの高確率です!!

たくさん受けましょう(笑)