同じものを含む順列と確率

基本的に確率は、「場合の数」を求めることに終始します。
適切に場合の数を求められるように、必要ならば「場合の数」の単元を読み返しましょう。

\(3\) 個の白球と \(1\) 個の赤球を横一列に並べるとき、赤玉が左端にくる確率を求めなさい。

まずは下の答案を読んで、考えてみてください。

（赤白白白）
（白赤白白）
（白白赤白）
（白白白赤）
の \(4\) 通りのうち、赤玉が左端にくるのは \(1\) 通り

よって、求める確率は \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

これって間違いでしょうか？正解でしょうか？

確率の学習を丁寧にやってきた人には、

「白球 \(3\) つは区別すべきじゃないのか？」

という疑問が頭に浮かんでいるはずです。

白球にア、イ、ウと名前をつけると、

（赤白白白）という場合は、
（赤アイウ）
（赤アウイ）
（赤イアウ）
（赤イウア）
（赤ウアイ）
（赤ウイア）

の \(6\) 通りであることがわかります。

同様に、
（白赤白白）
（白白赤白）
（白白白赤）
も、それぞれ \(6\) 通りずつあるので、

起こりうる場合の数は、\(4×6\) 通り
赤玉が左端にくるのは, \(1×6\) 通りなので、求める確率は、

\(\displaystyle \frac{1×6}{4×6}=\displaystyle \frac{1}{4}\)

これって、はじめの答案の答えと一致しています。

白球を区別しても、しなくとも、正しく確率が求まりました。

白球を区別しない場合が、等しく \(6\) 倍で区別する場合となったからです。

このように、区別しない場合すべての条件が等しいならば、根本事象（区別する場合）で確率を求めなくとも正しい結果が得られます。

いかがですか？

今後、正しく使い分けられそうでしょうか？

不安な人は

「どんなときも、同じものには名前をつけて区別して確率を求める！」

という態度で臨みましょう。

筆者もそれをおススメします。

確率に関する理解が深まり、感覚も研ぎ澄まされれば、区別しないで確率を求めても良いと思いますが。

\(K,A,W,A,I,I\) の \(6\) 文字を横一列に並べるとき、両端が \(A\) になる確率を求めよ。

すべての文字を区別して解きましょう。

全 \(6\) 文字の並べ方は、\(6!\) 通り。

両端に \(A\) を並べるのは \(2\) 通り。
※\((A_{1},A_{2})\) か \((A_{2},A_{1})\)

間の \(4\) 文字の並べ方は、 \(4!\) 通り
※もちろん \(I\) も区別

つまり、両端が \(A\) となる並べ方は、\(2×4!\) 通り

よって求める確率は、

\(\displaystyle \frac{2×4!}{6!}=\displaystyle \frac{1}{15}\)

以上、求まりました。