いろいろな因数分解

様々なパターンの因数分解を見ていきましょう。
一見してやり方がわからないものも、一度やり方を見て覚えればいいのです。
類題と出会ったときに、再現することができればいいのです。

例題１

次の式を因数分解しなさい。
\((x-1)^2-4(x-1)+4\)

解説

\(x-1=X\) とおくと
与式は、
\(X^2-4X+4\)
\(=(X-2)^2\)
\(=\{(x-1)-2\}^2\)
\(=(x-3)^2\)

例題２

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2+6x+9-y^2\)

解説

\(x^2+6x+9-y^2\)
\(=(x^2+6x+9)-y^2\)
\(=(x+3)^2-y^2\)
\(=\{(x+3)+y\}\{(x+3)-y\}\)
\(=(x+y+3)(x-y+3)\)

例題３

次の式を因数分解しなさい。
\((x^2-3x-12)(x^2-3x-2)+16\)

解説

\(x^2-3x=X\) とおくと
\((x^2-3x-12)(x^2-3x-2)+16\)
\(=(X-12)(X-2)+16\)
\(=X^2-14X+24+16\)
\(=X^2-14X+40\)
\(=(X-4)(X-10)\)
\(=(x^2-3x-4)(x^2-3x-10)\)
\(=(x+1)(x-4)(x+2)(x-5)\)

例題４

次の式を因数分解しなさい。
\(x(x+1)(x+2)(x+3)+1\)

解説

\(=x(x+3)×(x+1)(x+2)+1\)

\(=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1\)

\(x^2+3x=X\) とおくと

\(=X(X+2)+1\)

\(=X^2+2X+1\)

\(=(X+1)^2\)

\(=(x^2+3x+1)^2\)

例題５

次の式を因数分解しなさい。
\((x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24\)

解説

\(=(x+2)(x+5)×(x+3)(x+4)-24\)

\(=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24\)

\(=(x^2+7x)^2+22(x^2+7x)+120-24\)

\(=(x^2+7x)^2+22(x^2+7x)+96\)

\(=(x^2+7x+6)(x^2+7x+16)\)
\(=(x+1)(x+6)(x^2+7x+16)\)