文字係数の因数分解

\(x\) の \(2\) 次式において、定数項が \(y\) の \(2\) 次式というものを扱います。
例えば、
\((x+2y+1)(x+y-3)\)
を展開すると
\((x+2y+1)(x+y-3)\)
\(=\{x+(2y+1)\}\{x+(y-3)\}\)
\(=x^2+\{(2y+1)+(y-3)\}x+(2y+1)(y-3)\)
\(=x^2+(3y-2)x+(2y+1)(y-3)\)
です。

この計算の逆を行うのです。
\(x^2+(3y-2)x+(2y+1)(y-3)\) を因数分解しなさい。

やり方は、今までの因数分解のやり方そのままです。
定数項が文字でごってりしているだけです。

具体例を見ていきましょう。

例題１

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2-(2y-1)x+(y+1)(y-2)\)

解説

\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
の形になっています。

定数項が積、\((y+1)×(y-2)\) か \(\{-(y+1)\}×\{-(y-2)\}\) のどちらか。
\(x\) の係数は和なので、
\((y+1)+(y-2)=2y-1\)・・・符号がちがうのでダメ
\(\{-(y+1)\}+\{-(y-2)\}=-2y+1\)・・・これが正解
ということです。

つまり、
\(-(y+1)=\)\(-y-1\) と \(-(y-2)=\)\(-y+2\) を用いて因数分解できます。

\(x^2-(2y-1)x+(y+1)(y-2)\)
\(=\{x+(\)\(-y-1\)\()\}\{x+(\)\(-y+2\)\()\}\)
\(=(x-y-1)(x-y+2)\)

例題２

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2+4x-(y-1)(y+3)\)

解説

例題 \(1\) と同様にできそうですね。

つまり、定数項 \(-(y-1)(y+3)\) に着目して
\(-(y-1)×(y+3)\)
か
\((y-1)×\{-(y+3)\}\)
のどちらにすれば、和が \(x\) の係数になるかを見ます。

\(-(y-1)+(y+3)=4\)・・・これが正解
\((y-1)+\{-(y+3)\}=-4\)・・・符号がちがうのでダメ

よって、
\(x^2+4x-(y-1)(y+3)\)
\(=\{x+(-y+1)\}\{x+(y+3)\}\)
\(=(x-y+1)(x+y+3)\)

例題３

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2-xy-2y^2+3x-3y+2\)

解説

非常に複雑な式です。
共通因数もなく、公式も適用できません。
このようなときは、最も次数の低い文字について降べきの順に整理するのが鉄則です。

\(x,y\) ともに \(2\) 次なので、どちらで整理しても良いのですが、\(x\) で整理してみましょう。

\(x^2-xy-2y^2+3x-3y+2\)
\(=x^2+(3-y)x-2y^2-3y+2\)
きっと定数項が因数分解されるはずです。
例題 \(1,2\) と同様に解けそうな式の形だからです。

\(x^2+(3-y)x-2y^2-3y+2\)
\(=x^2+(3-y)x-(2y^2+3y-2)\)
\(=x^2+(3-y)x-(2y-1)(y+2)\)
これで、例題 \(2\) と同じ形になりました。
このような問題は、このような形に変形できる（だろう）ということこそ解法知識です。
覚えておきましょう。
あとは例題 \(2\) と同様に因数分解します。

定数項が積。
和が \(x\) の係数です。
\(-(2y-1)+(y+2)=-y+3\) これでうまくいきます
\((2y-1)+\{-(y+2)\}=y-3\) これは符号違いでダメです

より、
\(x^2+(3-y)x-(2y-1)(y+2)\)
\(=\{x+(-2y+1)\}\{x+(y+2)\}\)
\(=(x-2y+1)(x+y+2)\)