センター試験ⅠA

【センター試験ⅠＡ】図形の計量02

センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

【１】 $\triangle ABC$ の辺の長さと角の大きさを測ったところ、$AB=7\sqrt{3}$ および、$\angle ACB =60°$ であった。したがって、 $\triangle ABC$ の外接円 $O$ の半径は $ア$ である。

正しい図はまだわかりませんが、簡単に図示します。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験1a 図形の計量 28本１$

外接円の半径とくれば、正弦定理に決まっています。
外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より、

$2R=\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{\sin 60°}$

より、$R=7$

ア＝７です。

では、今後の問題にそなえて図示をしておきましょう。

$\angle ACB =60°$ ですが、これは弧 $AB$ の円周角です。
つまり、弧 $AB$ の中心角は $120°$ です。

円と内接正六角形の図は絶対暗記の図です。

$高校数学無料学習サイトko-su- 円と正六角形$

よって、弧 $AB$ が決まります。
点 $C$ はどこにあるのかは定まりませんが、弧 $AB$ の長い方にあることは確かです。
円周角の定理そのものですね。点 $C$ がどこにあっても、$\angle ACB =60°$ とはこのことです。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験図形の計量本誌Ｈ28 その１$

では続きです。

外接円 $O$ の、点 $C$ を含む弧 $AB$ 上で点 $P$ を動かす。

（１）$2PA=3PB$ となるのは $PA=イ\sqrt{ウエ}$ のときである。

点 $C$ は弧 $AB$ の長い方にあるので、
正確な図はわかりませんが、下図のようになりそうです。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験図形の計量本誌Ｈ28 その２$

余弦定理により、

$(7\sqrt{3})^2=(3x)^2+(2x)^2-2\cdot 3x \cdot 2x \cdot \cos 60°$

より、$147=7x^2$

$x \gt 0$ より、$x=\sqrt{21}$

$PA=3x=3\sqrt{21}$

よって、イ＝３、ウ＝２、エ＝１

外接円 $O$ 、の点 $C$ を含む弧 $AB$ 上で点 $P$ を動かす。

（２）$\triangle PAB$ の面積が最大となるのは $PA=オ\sqrt{カ}$ のときである。

さまざまな $P$ の位置を考えれば・・・
底辺 $AB$ が固定されているので、高さが最も高くなるときです。
正三角形の内部構造まで考慮して作図していた人には、サービス問題です。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験図形の計量本誌Ｈ28 その３$

$PAB$ は正三角形なので、$PA=AB=7\sqrt{3}$

より、オ＝７、カ＝３

外接円 $O$ 、の点 $C$ を含む弧 $AB$ 上で点 $P$ を動かす。

（３）$\sin \angle PBA$ の値が最大となるのは $PA=キク$ のときであり、

このとき $\triangle PAB$ の面積は $\displaystyle \frac{ケコ\sqrt{サ}}{シ}$ である。

$\sin \angle PBA$ の値が最大なので、 $\angle PBA=90°$ が可能かどうか、図で考えます。可能ですね。

$高校数学無料学習サイトko-su- センター試験図形の計量本誌Ｈ28 その４$

このとき、$PA=14$
半径 $7$ の外接円の直径だからです。

より、キ＝１、ク＝４

また、$\triangle PAB$ の面積は

$7×7\sqrt{3}×\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{49\sqrt{3}}{2}$

より、ケ＝４、コ＝９、サ＝３、シ＝２

以上です。