文字係数を含む２次関数の最大・最少

\(2\) 次関数の最大値、最小値に関わる問題は、
放物線の頂点と、定義域の位置関係を図示します。

とにかくグラフをかくことがすべてです。

例題で見ていきましょう。

例題１

\(y=x^2-2mx+3\) \((0 \leqq x \leqq 3)\) の最大値と最小値を、次の場合について求めなさい。

（１）\(m \lt 0\)
（２）\(0 \lt m \lt 1\)

解説

グラフの概形が知りたいですね。
最大値と最小値は目で見て判断したいからです。

よって、平方完成します。

\(y=x^2-2mx+3\)

\(y=(x-m)^2-m^2+3\)
よって、放物線の頂点は \((m,-m^2+3)\) です。

（１）\(m \lt 0\)

放物線の頂点は \((m,-m^2+3)\) なので、
\(m \lt 0\) のとき、
グラフの概形は下図のようになります。

グラフが \(x\) 軸と交わるのか、交わらないのか、不確定なこともありますが、
\(0 \leqq x \leqq 3\) の最大値と最小値ならわかります。

\(x=0\) のときに最小値です。
\(y=x^2-2mx+3\) に \(x=0\) を代入して \(y=3\)

\(x=3\) のときに最大値です。
\(y=x^2-2mx+3\) に \(x=3\) を代入して \(y=-6m+12\)

つまり、
\(x=0\) のときに最小値　\(3\)
\(x=3\) のときに最大値　\(-6m+12\)

（２） \(0 \lt m \lt 1\)

放物線の頂点は \((m,-m^2+3)\) なので、
\(0 \lt m \lt 1\) のとき、
グラフの概形は下図のようになります。
定義域は \(0 \leqq x \leqq 3\) です。

上の図では \(m\) が \(0\) と \(1\) のほぼ中間で描かれていますが、
それは不確定なことであり、 \(m\) は \(0 \lt m \lt 1\) ならば
どこにあってもかまいません。
\(2\) 次関数のグラフは左右対称なので、
軸から最も離れたところで最大値をとります。

グラフが \(x\) 軸と交わるのか、交わらないのか、
\(m\) の正確な位置など、不確定なこともありますが、
\(0 \leqq x \leqq 3\) の最大値と最小値はわかります。

グラフより、
\(x=m\) のときに最小値です。
\(y=x^2-2mx+3\) に \(x=m\) を代入して \(y=-m^2+3\)

\(x=3\) のときに最大値です。
\(y=x^2-2mx+3\) に \(x=3\) を代入して \(y=-6m+12\)

つまり、
\(x=m\) のときに最小値　\(-m^2+3\)
\(x=3\) のときに最大値　\(y=-6m+12\)

まとめ

必ず図示をして解きます。
図示をすれば、おのずと正解がでます。

これが究極のポイントですが、
放物線の頂点と、定義域の位置関係をまとめておくと
以下の \(3\) パターンあります。

以下はすべて下に凸な放物線での説明です。
上に凸も論理は同じですから省略します。

１．頂点が定義域の中央

「\(2\) 次関数のグラフは左右対称である」という重要な事実を
おさえておきましょう。

定義域は \(p \leqq x \leqq q\)
頂点が定義域の中央ならば、頂点で最小値。
最大値をとるのは、定義域の左端と右端の \(2\) つです。

２．頂点が定義域の中で中央からずれている

「\(2\) 次関数のグラフは左右対称である」なので、
頂点からより遠くはなれた定義域の端で、最大値となります。
頂点で最小値ですね。

定義域は \(p \leqq x \leqq q\)

３．頂点が定義域の端か外

頂点とは無関係になります。
定義域の左右の端で、それぞれ、最大値、最小値をとります。

定義域は \(p \leqq x \leqq q\)

どれになるのか、グラフの概形をかくことで確かめましょう！