2次関数

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２次関数の決定最大値・最小値

$2$ 次関数の決定最大値・最小値

最大値・最小値の情報から、$2$ 次関数を決定します。
頂点や、定義域の端で最大値・最小値をとりますから、
そこから決定していきます。

$x=1$ で最大値 $-2$ をとり、$x=3$ で $y=-6$ となるような $2$ 次関数を求めなさい。

まずグラフが上に凸か、下に凸か、どちらかが決定できます。

$x=1$ で最大値 $-2$ をとるということは、
下図のようになっています。上に凸ですね。

$高校数学無料学習サイトko-su- 2次関数の決定　最大値１$

※ $x,y$ 軸は、本問では必要ありません。

つまり、このグラフの頂点が $(1,-2)$ と与えられたということです。

よって求める $2$ 次関数の式は、
$y=a(x-1)^2-2$ とおけます。

あとは、通る点をこの式に代入すれば、$a$ が求まりますね。
$y=a(x-1)^2-2$ に $x=3$ と $y=-6$ を代入して

$-6=a(3-1)^2-2$
これを解いて、$a=-1$
よって求める $2$ 次関数の式は、
$y=-(x-1)^2-2$
$y=-x^2+2x-3$

関数 $y=2x^2-4x+c$、$(-1 \leqq x \leqq 2)$
の最大値が $5$ であるとき、定数 $c$ の値を求めなさい。
また、最小値を求めなさい。

最大値、最小値はグラフの概形を考えます。
可能な限り、数学は目で見て解きます。
図示ができる問題は図示して、目て見て解きたいという欲求を持ってください。

ですから、平方完成です。

$y=2x^2-4x+c$
$y=2(x-1)^2-2+c$

頂点が $(1,-2+c)$ であることがわかります。

$x$ 軸がどこにあるのかわかりませんので、
わからないなりの図示をします。

$高校数学無料学習サイトko-su- 2次関数の決定　最大値２$

定義域 $-1 \leqq x \leqq 2$ は、青い太い部分です。

$2$ 次関数は軸を中心に左右対称なのは知っていますか？
知らなかったら必ず今暗記してください！！

よって、軸の $x=1$ から最も離れた点で、最大値を取ります。

上のグラフより、

最大値は $x=-1$ を関数 $y=2x^2-4x+c$ 代入して、

$2(-1)^2-4(-1)+c$
$=6+c$

最大値は $5$ なので
$5=6+c$
より $c=-1$

最小値は、$x=1$ の頂点でとります。
頂点が $(1,-2+c)$ なので、
最小値は $-2+c$ です。
$c=-1$ なので、
$-2+c=-3$
よって、最小値は $-3$ です。