鈍角の三角比の相互関係

前回から、三角比を \(90°\) を超えても定義しました。
単位円による定義ですね。

角の範囲が \(90°\) を超えても、三角比の相互関係の公式が成り立ちます。

\(0° \leqq \theta \leqq 180°\) で

• \(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\)
• \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
• \(\tan^2 \theta+1=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}\)

※実は、 \(0° \leqq \theta \leqq 360°\) で三角比の相互関係は成り立ちます。

証明は省略します。
\(90°\) を超えた三角比を、そもそもどのように定義したのか、
ということをもとに、三平方の定理レベルで \(90°\) 未満のときとほぼ同様に示すことができます。

例題１

\(0° \leqq \theta \leqq 180°\) で \(\tan \theta =-2\) のとき、
\(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) の値を求めなさい。

解説

三角比の相互関係を用いて、ガツガツ計算することもできますが、
やはり図示することが大事です。

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{y座標}{x座標}\)

なので、これは \(1\) 次関数の傾きが与えられたのと同じことです。

原点を通る、傾き \(-2\) の直線 \(OP\) をかきましょう。

水色の直角三角形で三平方の定理を用います。
\(1^2=t^2+(2t)^2\)

\(t \gt 0\) より、\(t=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\)

点 \(P\) の座標から、\(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) が決まります。

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\)
※\(\cos \theta\) は、\(-t\) です。符号に注意しましょう。
※単位円でない図示をしても解けますが、単位円をおすすめします。

例題２

\(0° \leqq \theta \leqq 180°\) で \(\sin \theta=\displaystyle \frac{3}{5}\) のとき、
\(\cos \theta\) と \(\tan \theta\) の値を求めなさい。

解説

図示です。
単位円がおすすめです。

\(\sin \theta\) の値は \(y\) 座標です。

つまり、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{3}{5}\) となる点 \(P\) は \(2\) つあります。

\(P_{1}\) の \(x\) 座標は、水色の直角三角形で三平方の定理を用いて、\(\displaystyle \frac{4}{5}\) です。
※ \(3:4:5\) の直角三角形であることを用いても可

よって、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{4}{5}\)

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{y座標}{x座標}\)より、

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{3}{4}\)

また \(P_{2}\) の \(x\) 座標は、クリーム色の直角三角形で三平方の定理を用いて、\(-\displaystyle \frac{4}{5}\) です。

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{4}{5}\)

\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{3}{4}\)

よって、以下のように \(2\) 通りの答えを解答とします。

\(\cos \theta=\displaystyle \frac{4}{5}\)、 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{3}{4}\)

または

\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{4}{5}\)、\(\tan \theta=-\displaystyle \frac{3}{4}\)