円の決定

標準形を使うにしろ、一般形を使うにしろ、未知数は \(3\) つです。
円を決定するためには、問題で \(3\) つの情報が与えられますので、
それを円の方程式に代入します。

例題１

次の円の方程式を求めなさい。
点 \((4,-3)\) を中心とし、点 \((6,-9)\) を通る円

解説

中心の情報があるので、標準形に代入します。

\((x-4)^2+(y+3)^2=r^2\)

これが、点 \((6,-9)\) を通るので、円の方程式に代入します。
通る点は代入する、中学生のときからのあたりまえの解法ですね。

\((6-4)^2+(-9+3)^2=r^2\)

\(2^2+6^2=r^2\)
より、 \(r^2=40\)

よって、求める円の方程式は
\((x-4)^2+(y+3)^2=40\)

※ \(r\) は、計算すれば \(2\sqrt{10}\) と求まりますが、
今聞かれている問題に対する答えとしては不要です。

例題２

\(2\) 点 \(A(1,7),B(-3,1)\) を直径の両端とする円の方程式を求めなさい。

解説

大ざっばに図示をしてみましょう。

これはつまり、中心と半径が与えられたのと同じことですね。
※図は不正確でＯＫです。 \(x\) 軸と交わるかどうかなど、今は必要のない情報です。
「中心と半径が与えられた」に気づければそれで良いのです。

円の中心を \(C\) とすると、 \(C\) は線分 \(AB\) の中点なので、
\(C\) の座標は、\((\displaystyle \frac{1+(-3)}{2},\displaystyle \frac{7+1}{2})\)

より、 \((-1,4)\)
つまり、求める円の方程式は、半径を \(r\) とすると、
\((x+1)^2+(y-4)^2=r^2\)
となります。

半径 \(r\) の求めかたは \(2\) 通りあります。

\(2\) 点 C,A の距離が半径

\(CA\) に三平方の定理を用いれば
\(r^2=CA^2=(1-(-1))^2+(7-4)^2\)
\(r^2=2^2+3^2\)
\(r^2=13\)
よって、求める円の方程式は
\((x+1)^2+(y-4)^2=13\)

方程式に通る点を代入する

\(2\) 点　\(A(1,7),B(-3,1)\) を通るので、どちらでもかまいません。
方程式に代入すれば \(r\) が求まります。
点 \(A(1,7)\) を代入すると

\((1+1)^2+(7-4)^2=r^2\)
\(2^2+3^2=r^2\)
\(4+9=r^2\)
\(13=r^2\)

よって、求める円の方程式は
\((x+1)^2+(y-4)^2=13\)

例題３

\(3\) 点　\(A(1,4),B(1,0),C(-2,3)\) を通る円の方程式を求めなさい。

解説

中心も半径もわからないときは、一般形を利用します。

\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)
に通る点をそれぞれ代入します。
未知数が \(l,m,n\) と \(3\) つあるので、通る点が \(3\) つ与えられれば、円は \(1\) つに確定するわけです。

\(A(1,4)\) を代入すると
\(1^2+4^2+l+4m+n=0\)
整理すると
\(l+4m+n+17=0\)・・・①
\(B(1,0)\) を代入すると
\(1^2+0^2+l+m×0+n=0\)
整理すると
\(l+n+1=0\)・・・②

\(C(-2,3)\) を代入すると
\((-2)^2+3^2-2l+3m+n=0\)
整理すると
\(-2l+3m+n+13=0\)・・・③

あとは、①、②、③を連立して解けば、\(l,m,n\) が求まります。
求める過程はいろいろですが、一例を示すと
①－②より、
\(4m+16=0\)
\(m=-4\)・・・④
これを③に代入して、
\(-2l+3×(-4)+n+13=0\)
整理して
\(-2l+n+1=0\)・・・⑤

②と⑤より、明らかに \(l=0\)
より、\(n=-1\)

よって、求める円の方程式は
\(x^2+y^2-4y-1=0\)

※これでＯＫです。
標準形になおさないで、この一般形を答えにして構いません。
中心や半径が聞かれたならば、標準形に直して求めましょう。

参考

上の回答方針は、
未知数が \(3\) つあるので、通る点が \(3\) つあれば代入で求まる、というものでした。

これって、「標準形」に代入してもいいわけじゃないですか・・・

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
未知数は \(a,b,r\) の \(3\) つです。
これに通る点を代入して得られた \(3\) つの式を連立したって・・・
でも、めちゃくちゃ計算が面倒そうですよね。
\(2\) 乗が出てきてうんざりです。

おとなしく「一般形」を使いましょう。

まとめ

中心や半径が与えられれば、標準形を利用します。
中心も半径もわからないときは、一般形を利用します。
通る点はもちろん代入します。

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