放物線の位置関係

放物線と $x$ 軸との位置関係

$2$ 次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、
$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の個数と一致します。

つまり、判別式 $D=b^2-4ac$ の符号を調べればわかります。

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$y=2x^2+7x-15$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めなさい。

$y=2x^2+7x-15$ の判別式より、

$D=7^2-4×2×(-15)=169 > 0$

よって、グラフと $x$ 軸の共有点の個数は $2$ 個です。

ちなみに、
$y=2x^2+7x-15$ と $x$ 軸の共有点の座標は

$0=2x^2+7x-15$
を解いて
$x=-5,\displaystyle \frac{3}{2}$ より、

$(-5,0)$ と $(\displaystyle \frac{3}{2},0)$ です。

※解の公式で解いても良いし、因数分解して解いても良いでしょう。
$2x^2+7x-15=(2x-3)(x+5)$

$y=x^2+mx+3$ のグラフが $x$ 軸に接するとき、定数 $m$ の値を求めなさい。
また接点の座標を求めなさい。

$D=0$ となる $m$ を求めます。

$D=m^2-4×1×3=0$
これを解きます。
$m^2=12$
$m= \pm 2\sqrt{3}$

より、
$m= 2\sqrt{3}$ のとき、
$y=x^2+2\sqrt{3x}+3$
$=(x+\sqrt{3})^2$
よって、接点の $x$ 座標は $-\sqrt{3}$ なので、
接点は $(-\sqrt{3},0)$

$m= -2\sqrt{3}$ のとき、
$y=x^2-2\sqrt{3x}+3$
$=(x-\sqrt{3})^2$
よって、接点の $x$ 座標は $\sqrt{3}$ なので、
接点は $(\sqrt{3},0)$

$2$ 次関数 $y=x^2-3x+2m-1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めなさい。

判別式 $D$ の符号について調べます。

$D=(-3)^2-4×1×(2m-1)$
$=9-8m+4$
$=-8m+13$

より、

$D \gt 0$ のとき $-8m+13 \gt 0$ より、$\displaystyle \frac{13}{8}\gt m$ で共有点の個数 $2$ 個

$D = 0$ のとき $-8m+13 = 0$ より、$\displaystyle \frac{13}{8}= m$ で共有点の個数 $1$ 個

$D \lt 0$ のとき $-8m+13 \lt 0$ より、$\displaystyle \frac{13}{8}\lt m$ で共有点の個数 $0$ 個