\(2\) 次不等式のポイント

ここからは、\(2\) 次不等式を学習していきます。
\(2\) 次関数のグラフを用いて解きます。

問題

次の \(2\) 次不等式を解きなさい。

\(x^2+2x-3 \gt 0\)

解説

不等式を解くということは、不等式を成り立たせる \(x\) の範囲を求めることですね。

例えば \(x=4\) のとき、この不等式は成り立つのでしょうか。

\(x=4\) を \(x^2+2x-3\) に代入します。

\(4^2+2×4-3=21 \gt 0\)

ＯＫですね。

\(x=0\) ではどうでしょうか。

\(x=0\) を \(x^2+2x-3\) に代入します。
\(-3 \lt 0\)

これはダメです。
不等式が成り立つ \(x\) の値と、成り立たない \(x\) の値があります。

結局 \(x\) がいくつならば、この不等式は成り立つの？
これを求めることが、不等式を解くということです。

\(2\) 次不等式の解き方 グラフをかく

\(2\) 次不等式 \(x^2+2x-3 \gt 0\) を解くとき、
\(2\) 次関数 \(y=x^2+2x-3\) のグラフをかいて考えます。

そのさい、頂点の情報はいりません！

どこで \(x\) 軸と交わるか、これが知りたい情報です。

ですので、
\(y=x^2+2x-3\)
\(y=(x-1)(x+3)\)

より、\(x=-3,1\) で \(x\) 軸と交わります。
つまり下の図のようになっています。

※ \(y\) 軸がどこになるのかは、いらない情報ですけど薄くかいておきます。

\(x^2+2x-3 \gt 0\)
となる \(x\) の範囲ですが、
\(y=x^2+2x-3 \gt 0\)
としているので、
\(y \gt 0\) となる \(x\) の値の範囲を求めるのです。

グラフから明らかですね。

\(y \gt 0\) となるのは、\(x \lt -3\)、\(1 \lt x\) ですね。
これが求める解です。

問題2

次の \(2\) 次不等式を解きなさい。

\(-x^2+x-6 \geqq 3x-10 \)

解説

まずは、与式を整理します。

\(-x^2+x-6 \geqq 3x-10 \)
\(-x^2-2x+4 \geqq 0\)

両辺に \(-1\) をかけて、 \(x^2\) の係数を正にしましょう！！

\(x^2+2x-4 \leqq 0\)
※不等号の向きが変わります！！

より、\(2\) 次関数 \(y=x^2+2x-4\) のグラフをかいて考えます。

そのさい、頂点の情報はいりません！

どこで \(x\) 軸と交わるか、これが知りたい情報です。

\(2\) 次方程式、\(x^2+2x-4=0\) を解きます。
解の公式より、
\(x=-1 \pm \sqrt{5}\)

つまり下の図のようになっています。

\(x^2+2x-4 \leqq 0\)
となる \(x\) の範囲ですが、
\(y=x^2+2x-4 \leqq 0\)
としているので、
\(y \leqq 0\) となる \(x\) の値の範囲を求めるのです。
グラフから明らかですね。

\(y \leqq 0\) となるのは、\(-1-\sqrt{5} \leqq x \leqq -1+\sqrt{5}\) ですね。

※ \(x^2\) の係数が負のままで、\(2\) 次不等式を解くこともできます。
ただし、\(x^2\) の係数は正で解いた方が、その後の計算ミスも起きにくくなるでしょう。

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