実数の分類

このページでは、我々が用いている「数」について、理解を深めておきます。

「実数の分類」です。

実数

そもそも実数という言葉です。
実数とは、「普段我々が使っている数」と思ってもらってＯＫです。
数直線上の点として表すことのできる数です。

実数は、有理数と無理数の \(2\) つに分けられます。
さらに、有理数は、整数、有限小数、循環小数に分類されます。
以下で、くわしく見ていきましょう。

※実数ではない「数」もあります。「虚数」と呼ばれます。数学Ⅱで学習します。

有理数と無理数

実数はまず、有理数か無理数かのどちらかに分けられます。
その基準は、

分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) で表すことができるかどうか（ただし \(b \neq 0\)）。

有理数とは、分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) で表すことができる数です。

\(b=1\) のときに整数となります。整数も有理数です。

無理数とは、分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) で表すことができない数です。

無理数の代表例は、\(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) などです。
そして、円周率 \(\pi\)
いずれも、分数で表すことができないために、このような特別な表示をしています。
※無理数は上の例以外にもいくらでも、正しくは無限にあります。我々人類が、表示方法をまだ作っていないような、そんな無理数が無限にあります。しかし、高校数学の範囲で、そのような数とふれあうことはありませんのでご安心を。

有理数の分類

先ほどもふれましたが、有理数は、整数、有限小数、循環小数に分類されます。
順に見ていきましょう。

整数

整数とは何か、説明不要でしょうが、
\(0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots\)
のような数のことです。
小数点以下が \(0\) の数ですね。

すべて、分母が \(1\) の分数表示が可能です。

また、正の整数のことを自然数といいます。 \(0\) は含みません、 \(1\) 以上の整数が自然数です。

有限小数

整数でない有理数を小数で表すと、有限小数か循環小数になります。
まずは有限小数です。分子÷分母の計算をしたとき、どこかで割り切れるものです。

\(\displaystyle \frac{1}{2}=0.5\)

\(\displaystyle \frac{1}{8}=0.125\)

\(\displaystyle \frac{9}{5}=1.8\)

循環小数

分子÷分母をしたときに、いつまでも割り切れないものです。

\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.333\cdots\)

無限に続く小数点以下に並ぶ数は、必ず同じ数の組をくりかえします（循環します）。
これら循環小数は、循環する部分の最初の数と最後の数の上に・印をつけて表します。

\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.\dot{3}\)

\(\displaystyle \frac{5}{6}=0.8333\cdots=0.8\dot{3}\)

\(\displaystyle \frac{17}{22}=0.77272727\cdots=0.7\dot{2}\dot{7}\)

逆に、有限小数や循環小数は必ず分数の形で表すことができます。

循環小数の練習

例題１

次の分数を小数に直しなさい。

（１）\(\displaystyle \frac{9}{8}\)

（２）\(\displaystyle \frac{31}{54}\)

解説

実際にわり算を行います。

（１）\(\displaystyle \frac{9}{8}\)

\(9÷8=1.125\)

（２）\(\displaystyle \frac{31}{54}\)

\(31÷54=0.5740740\cdots\)
\(=0.5\dot{7}4\dot{0}\)

例題２

次の循環小数を既約分数の形に表しなさい。

（１）\(0.\dot{1}2\dot{3}\)

（２）\(0.7\dot{4}\dot{3}\)

解説

（１）\(0.\dot{1}2\dot{3}\)

\(x=0.\dot{1}2\dot{3}\) とおきます。

\(1000x-x\) を下図のように並べて計算します。

\(\begin{eqnarray}1000x &=& 123.123123\cdots \\ x &=& \hspace{ 10pt }0.123123\cdots \end{eqnarray}\)

上から下を引きます。
\(999x=123\)

\(x=\displaystyle \frac{123}{999}=\displaystyle \frac{41}{333}\)

見事に、無限に続く小数点以下が消えました。
解法パターン暗記です！

（２）\(0.7\dot{4}\dot{3}\)

\(x=0.7\dot{4}\dot{3}\) とおきます。

無限に続く、\(434343\cdots\) が消えるようにします。
\(10x-x\) か、 \(100x-x\) か、\(1000x-x\) か、ちょっと書いてみればわかります。

\(100x-x\) を下図のように並べて計算します。

\(\begin{eqnarray}100x &=& 74.3434343\cdots \\ x &=& \hspace{ 5pt }0.7434343\cdots \end{eqnarray}\)

上から下を引きます。
\(99x=73.6\)

\(x=\displaystyle \frac{73.6}{99}=\displaystyle \frac{736}{990}\)

\(=\displaystyle \frac{368}{495}\)

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