絶対値記号を含む方程式・不等式

絶対値は、数直線で視覚的に処理しましょう。

$| x |=a$ の解は、$x= \pm a$
ただし $a \gt 0$

例
$| x |=4$ の解は、$x=\pm 4$
$高校数学無料学習サイトko-su- 絶対値と方程式１$

$|x| \lt a$ の解は、$-a \lt x \lt a$
ただし $a \gt 0$

例
$|x| \lt 3$ の解は、$-3 \lt x \lt 3$
$高校数学無料学習サイトko-su- 絶対値と不等式１$

$|x| \gt a$ の解は、$x \lt -a,a \lt x$
ただし $a \gt 0$

例
$|x| \gt 2$ の解は、$x \lt -2,a \lt 2$
$高校数学無料学習サイトko-su- 絶対値と不等式２$

次の方程式を解きなさい。

$| 2x-1 |=5$

絶対値とは原点からの距離ですね。
$2x-1 =5$ と $2x-1 =-5$ の $2$ つの式が、一つの式で表されています。

$ 2x-1= \pm 5$
$ 2x= 1 \pm 5$

$ x= \displaystyle \frac{1 \pm 5}{2}$

$x=3,-2$

次の不等式を解きなさい。

$| -x+4 |\lt 5$

$|x| \lt a$ の解は、$-a \lt x \lt a$ です。
※暗記できていなくとも、数直線で確認すれば自ら導出できますね。

$| -x+4 |\lt 5$
$-5 \lt -x+4 \lt 5$
$-5-4 \lt -x \lt 5-4$
$-9 \lt -x \lt 1$
すべての項を $-1$ 倍して、
$9 \gt x \gt -1$
ふつう向きを逆にかきますね。

$-1 \lt x \lt 9$

次の不等式を解きなさい。

$| 3x-7 | \geqq 2$

$|x| \gt a$ の解は、$x \lt -a,a \lt x$
※暗記できていなくとも、数直線で確認すれば自ら導出できますね。

$| 3x-7 | \geqq 2$
$3x-7 \leqq -2$ 、$2 \leqq 3x-7$

$3x-7 \leqq -2$ を解いて、
$3x \leqq 5$

$x \leqq \displaystyle \frac{5}{3}$

$2 \leqq 3x-7$ を解いて
$9 \leqq 3x$
$3 \leqq x$

よって、$x \leqq \displaystyle \frac{5}{3}$、$3 \leqq x$