漸化式・特性方程式タイプ

↑のまとめ、一体なんのことだがまったくわからないですね。
とにかく例題を見ていくことで理解していきましょう。

漸化式の解法はパターンごとにすっきりとまとめられています。
「解法パターン丸暗記」をしてください。

例題１

\(a_{ 1 }=1\)

\(a_{ n+1 }=3a_{ n }+2\)

で定義される数列 \(\{a_{ n }\}\) の一般項 \(a_{ n }\) を求めなさい。

解説

このタイプの漸化式は、こう解くんだよ！
という解法パターンがありますので、
とにかくそれを覚えてもらえればＯＫです。

行きますよ。

与えられた漸化式 \(a_{ n+1 }=3a_{ n }+2\)・・・①とします。

①（\(a_{ n+1 }=3a_{ n }+2\)） の \(a_{ n+1 }\) と \(a_{ n }\) を \(\alpha\) に置き換えた式
\(\alpha=3 \alpha+2\) ・・・②とします。
この②を特性方程式といいますが、あまり名前にこだわらないで下さい。

そして、①から②を引きます。
\(\begin{eqnarray} \hspace{ 16pt }a_{ n+1 } &=& 3a_{ n }+2 \\-\hspace{ 18pt }\alpha &=& 3 \alpha \hspace{ 4pt }+2 \end{eqnarray}\)
\(\overline{ a_{ n+1 }-\alpha=3 (a_{ n }-\alpha)}\)

\(a_{ n+1 }-\alpha=3 (a_{ n }-\alpha)\) ・・・③
これは、数列 \(\{a_{ n }-\alpha\}\) が、公比 \(3\) の等比数列であることを示しています。

ちなみに \(\alpha\) は、②式 \(\alpha=3 \alpha+2\) を解けばＯＫで、
\(\alpha=-1\) です。
③に代入すると、
\(a_{ n+1 }+1=3 (a_{ n }+1)\) ・・・④
つまり、数列 \(\{a_{ n }+1\}\) は公比 \(3\) の等比数列です。

初項は \(a_{ 1 }+1=2\)

よって、 \(a_{ n }+1=2\cdot3^{n-1}\)
\(a_{ n }=2\cdot3^{n-1}-1\)
これで求まりました。

※数列 \(\{a_{ n }+1\}\) は公比 \(3\) の等比数列ですが、これを \(\{b_{ n }\}\) と置いたほうがわかりやすい人は置き換えをしましょう。

さらなる解説

なんか知らないけどうまいこと解けちゃった・・・

という感想ですよね。
そもそも、特性方程式なんてどうやって思いついたの？って話ですよね。

冒頭でも書いた通りですが、

解法パターンが研究されつくされているんです。
我々は、先人の知恵をそのまま拝借すればそれでいいですよ！

また、上の解説ですが、初学者のために丁寧に長々とかいています。

実際の答案にかくさいは、

\(a_{ n+1 }=3a_{ n }+2\)　より、
\(a_{ n+1 }+1=3 (a_{ n }+1)\)

と書き始めてしまってください。
特性方程式を使って計算した数行は、テストの余白で行い、
答案に書くのは \(2\) 行で済ませます。
それでＯＫです。

※階差数列を利用して解く方法もありますが、特性方程式の解法をお勧めします。

例題２

\(a_{ 1 }=2\)

\(2a_{ n+1 }-3a_{ n }=3\)

で定義される数列 \(\{a_{ n }\}\) の一般項 \(a_{ n }\) を求めなさい。

解説

\(2a_{ n+1 }-3a_{ n }=3\)　より、
\(a_{ n+1 }+3=\displaystyle \frac{3}{2}(a_{ n }+3)\)

では \(2\) 行目からの続きです。

つまり、数列 \(\{a_{ n }+3\}\) は公比 \(\displaystyle \frac{3}{2}\) の等比数列です。

初項は \(a_{ 1 }+3=2+3=5\)

よって、 \(a_{ n }+3=5\cdot (\displaystyle \frac{3}{2}) ^{n-1}\)

\(a_{ n }=5\cdot (\displaystyle \frac{3}{2}) ^{n-1}-3\)

これで求まりました。