約数の個数

約数が $4$ 個ある数はどのような数でしょうか。
約数が $5$ 個ある数はどのような数でしょうか。

このような視点の問題も出題されます。

順に見ていきましょう。

約数が $2$ 個

約数が $2$ 個しかない数を「素数」と定義したのですね！
中学校で学習済みのはずです。

素数 $A$ の約数は、 $1$ と $A$ の $2$ つです。

素数は小さい順に、
$2,3,5,7,11,13,17,19,\cdots$
と無限に続きます。

最低限 $100$ 以下の自然数は、素数かどうか瞬時に判断できるようにしておかないといけません。素数は $2$ 以外は奇数なので、一の位が $1,3,5,7,9$ ですが、一の位が $5$ だと $5$ の倍数なので、一の位が $1,3,7,9$ の数だけ調べればＯＫです。

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ ここまで $10$ 個
$31,37,41,43,47,53,59,$$61,67,71,73,79,83,89,97$

$100$ 以下で $25$ 個です。
$91=13×7$ は間違えやすいので覚えておきましょう。

約数が $3$ 個

約数が $3$ 個の数は、「素数の平方」です。

素因数分解をしたとき

$A^2$ ということです。

約数の個数を求める公式では、
$2+1=3$ 個
です。

$1,A,A^2$ の $3$ 個が約数となります。

約数が奇数個

逆に、「平方数ならば、約数は $3$ 個」は成り立ちません。
注意してください。
正しくは、「平方数の約数は、奇数個」です。きちんと暗記しておきましょう。
「奇数個の約数を持つ数は平方数」も成り立ちます。

平方数である $36$ の約数をかき出してみましょう。
約数は、普通 $36=2×18$ のように、$2$ つセットで見つかります。
しかし、平方数ならば、$36=6×6$ のように、$1$ 個だけのときがあるのです。
$36=1×36$
$36=2×18$
$36=3×12$
$36=4×9$
$36=6×6$・・・これは $6$ だけ！だから約数の数が奇数になります。

$36$ の約数は $9$ 個です。

公式で求めると、
$36=2^2×3^2$
より、$(2+1)(2+1)=9$ 個

約数が $4$ 個

約数が $4$ 個の数は $2$ パターンあります。

「素数の立方」
あるいは、
「素数 $A$ と素数 $B$ の積」

のどちらかになります。

素数の立方

「素数の立方」を素因数分解をすると、

$A^3$ ということです。

約数の個数を求める公式では、
$3+1=4$ 個
となります。

例
$8=2^3$ ・・・約数は $1,2,4,8$
$27=3^3$ ・・・約数は $1,3,9,27$
$125=5^3$ ・・・約数は $1,5,25,125$

素数 $A$ と素数 $B$ の積

「素数 $A$ と素数 $B$ の積」を素因数分解をすると、
$A×B$ ということです。

約数の個数を求める公式では、
$(1+1)(1+1)=4$ 個
となります。

例
$6=2×3$ ・・・約数は $1,2,3,6$
$10=2×5$ ・・・約数は $1,2,5,10$
$143=11×13$ ・・・約数は $1,11,13,143$

例題１

$100$ 以下の正の整数の中で、約数を $4$ 個もつ数を大きい順に $2$ つ求めなさい。

解説

約数が $4$ 個の数は、
「素数の立方」
あるいは、
「素数 $A$ と素数 $B$ の積」
になります。
順に調べていきます。

$99=3^2×11$ で約数が $(2+1)(1+1)=6$ 個
$98=2×7^2$ で約数が $(1+1)(2+1)=6$ 個
$97$ は素数
$96$ は明らかに約数たくさん
$95=5×19$ で約数が $(1+1)(1+1)=4$ 個！！！
$94=2×47$ で約数が $(1+1)(1+1)=4$ 個！！！
以上、見つかりました。
$95,94$ が求める答えです。

例題２

$M$ を正の整数とします。
$12×M$ の約数が $12$ 個となる $M$ を小さい順に $3$ つ求めなさい。

解説

$12×M$ の約数の個数は、$12×M$ を素因数分解することでわかります。

$M$ を素因数分解したとき、$2,3$ 以外の素因数を持つか持たないかで場合分けが必要です。

$M=2^s×3^t$ のとき

まずは単純な方、$M=2^s×3^t$ のときを調べます。
$M=2^s×3^t$ のとき
$12×M=2^{2+s}×3^{1+t}$

約数の個数は、
$(2+s+1)(1+t+1)=12$
これを満たす $0$ 以上の整数の組 $(s,t)$ は、
$(s,t)=(0,2),(1,1),(3,0)$

つまり、
$(s,t)=(0,2)$ のとき、
$M=2^s×3^t=2^0×3^2=9$

$(s,t)=(1,1)$ のとき、
$M=2^s×3^t=2^1×3^1=6$

$(s,t)=(3,0)$ のとき、
$M=2^s×3^t=2^3×3^0=8$

$M$ が、$2,3$ 以外の素因数を持つとき

次に、$M$ が、$2,3$ 以外の素因数を持つときを調べます。

ところで、$12$ を素因数分解すると、
$12=2^2×3$

$12$ の約数は $(2+1)(1+1)=6$ 個です。

つまり、$12×M$ の約数の個数が $12$ 個となるためには、
約数の個数を求める公式において、

$(2+1)(1+1)$$(1+1)$$=6×2$ となるしかありません。
つまり、
$12×M=2^2×3×M$
※$M$ が $2,3$ とは異なる素数

のとき、約数の個数は
$(2+1)(1+1)(1+1)=12$

よって、$M=5,7,11,13,\cdots$ となります。

以上より 、
$M=5,7,11,13,\cdots$ と
$M=6,8,9$

これらのときに、$12×M$ の約数が $12$ 個となります。

小さい順に
$5,6,7$
これが求める答えとなります。