約数の個数・約数が2個、3個、4個のとき
約数の個数
約数が 4 個ある数はどのような数でしょうか。
約数が 5 個ある数はどのような数でしょうか。
このような視点の問題も出題されます。
順に見ていきましょう。
約数が 2 個
約数が 2 個しかない数を「素数」と定義したのですね!
中学校で学習済みのはずです。
素数 A の約数は、 1 と A の 2 つです。
素数は小さい順に、
2,3,5,7,11,13,17,19,⋯
と無限に続きます。
最低限 100 以下の自然数は、素数かどうか瞬時に判断できるようにしておかないといけません。素数は 2 以外は奇数なので、一の位が 1,3,5,7,9 ですが、一の位が 5 だと 5 の倍数なので、一の位が 1,3,7,9 の数だけ調べればOKです。
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ここまで 10 個
31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
100 以下で 25 個です。
91=13×7 は間違えやすいので覚えておきましょう。
約数が 3 個
約数が 3 個の数は、「素数の平方」です。
素因数分解をしたとき
A2 ということです。
約数の個数を求める公式では、
2+1=3 個
です。
1,A,A2 の 3 個が約数となります。
約数が奇数個
逆に、「平方数ならば、約数は 3 個」は成り立ちません。
注意してください。
正しくは、「平方数の約数は、奇数個」です。きちんと暗記しておきましょう。
「奇数個の約数を持つ数は平方数」も成り立ちます。
平方数である 36 の約数をかき出してみましょう。
約数は、普通 36=2×18 のように、2 つセットで見つかります。
しかし、平方数ならば、36=6×6 のように、1 個だけのときがあるのです。
36=1×36
36=2×18
36=3×12
36=4×9
36=6×6・・・これは 6 だけ!だから約数の数が奇数になります。
36 の約数は 9 個です。
公式で求めると、
36=22×32
より、(2+1)(2+1)=9 個
約数が 4 個
約数が 4 個の数は 2 パターンあります。
「素数の立方」
あるいは、
「素数 A と素数 B の積」
のどちらかになります。
素数の立方
「素数の立方」を素因数分解をすると、
A3 ということです。
約数の個数を求める公式では、
3+1=4 個
となります。
例
8=23 ・・・約数は 1,2,4,8
27=33 ・・・約数は 1,3,9,27
125=53 ・・・約数は 1,5,25,125
素数 A と素数 B の積
「素数 A と素数 B の積」を素因数分解をすると、
A×B ということです。
約数の個数を求める公式では、
(1+1)(1+1)=4 個
となります。
例
6=2×3 ・・・約数は 1,2,3,6
10=2×5 ・・・約数は 1,2,5,10
143=11×13 ・・・約数は 1,11,13,143
例題1
100 以下の正の整数の中で、約数を 4 個もつ数を大きい順に 2 つ求めなさい。
解説
約数が 4 個の数は、
「素数の立方」
あるいは、
「素数 A と素数 B の積」
になります。
順に調べていきます。
99=32×11 で約数が (2+1)(1+1)=6 個
98=2×72 で約数が (1+1)(2+1)=6 個
97 は素数
96 は明らかに約数たくさん
95=5×19 で約数が (1+1)(1+1)=4 個!!!
94=2×47 で約数が (1+1)(1+1)=4 個!!!
以上、見つかりました。
95,94 が求める答えです。
例題2
M を正の整数とします。
12×M の約数が 12 個となる M を小さい順に 3 つ求めなさい。
解説
12×M の約数の個数は、12×M を素因数分解することでわかります。
M を素因数分解したとき、2,3 以外の素因数を持つか持たないかで場合分けが必要です。
M=2s×3t のとき
まずは単純な方、M=2s×3t のときを調べます。
M=2s×3t のとき
12×M=22+s×31+t
約数の個数は、
(2+s+1)(1+t+1)=12
これを満たす 0 以上の整数の組 (s,t) は、
(s,t)=(0,2),(1,1),(3,0)
つまり、
(s,t)=(0,2) のとき、
M=2s×3t=20×32=9
(s,t)=(1,1) のとき、
M=2s×3t=21×31=6
(s,t)=(3,0) のとき、
M=2s×3t=23×30=8
M が、2,3 以外の素因数を持つとき
次に、M が、2,3 以外の素因数を持つときを調べます。
ところで、12 を素因数分解すると、
12=22×3
12 の約数は (2+1)(1+1)=6 個です。
つまり、12×M の約数の個数が 12 個となるためには、
約数の個数を求める公式において、
(2+1)(1+1)(1+1)=6×2 となるしかありません。
つまり、
12×M=22×3×M
※M が 2,3 とは異なる素数
のとき、約数の個数は
(2+1)(1+1)(1+1)=12
よって、M=5,7,11,13,⋯ となります。
以上より 、
M=5,7,11,13,⋯ と
M=6,8,9
これらのときに、12×M の約数が 12 個となります。
小さい順に
5,6,7
これが求める答えとなります。