定積分

つまり
\(\displaystyle \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)\)
です。
定積分とは、代入して引くのです。
定積分は具体値が求まります。

で、この計算に一体なんの意味があるのでしょう？

ずばり書きますと、
定積分は今まで求められなかった面積が求められるようになるのです。
それについてはまたいずれ。
まずはひたすら計算練習をしましょう。

定積分の計算と表記

\(\left[ F(x) \right]_a^b\) は計算が容易になるための表記です。
難しく考えないで、ただの手順・記号として覚えましょう。

定積分の計算手順

まず \(f(x)\) の原始関数の \(1\) つ \(F(x)\) を求めて、

\(\left[ F(x) \right]_a^b \) とかきます。

そして、\(F(x)\) に、\(a,b\) を代入したものの差をとります。
\(F(b)-F(a)\)です。

この計算結果が定積分です。

定積分を上の定義通り計算することで「定数」が得られます。

例
\(\displaystyle \int_1^2 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_1^2 = (2^3)-(1^3)=7 \)

ここで \(F(x)\) は定数項によって無数にありますが、
例えば定数項が \(10\) だとします。
つまり、\( F(x)=x^3+10\) とします。

このとき、\(F(2)-F(1)= (2^3+10)-(1^3+10)=2^3-1^3 \) なので、定数項の \(10\) は消えます。
当然ですが、定数項がいくつであっても消えるので、
積分定数は \(0\) で計算をしましょう。
それが楽ですし、それで間違っていないからです。

例題１

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_1^2 (-2x+3) dx \)

解説

\(\displaystyle \int_1^2 (-2x+3) dx \)

\(= \left[ -x^2+3x \right]_1^2\)

\( = \{-(2)^2+3\cdot2\}-\{-(1)^2+3\cdot1\}\)

\(=2-2=0 \)

※\(-x^2\) に \(2\) を代入します。
正しくは \(-(2)^2=-4\) です。
\((-2)^2=4\) ではありません。

例題２

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_{-1}^2 (2x^2-4x+1) dx \)

解説

\(\displaystyle \int_{-1}^2 (2x^2-4x+1) dx \)

\(= \left[ \displaystyle \frac{2}{3}x^3-2x^2+x \right]_{-1}^2\)

\( = \{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot2^3-2\cdot2^2+2\}\)\(-\{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot(-1)^3-2\cdot(-1)^2+(-1)\}\)

\(=-\displaystyle \frac{2}{3}-(-\displaystyle \frac{11}{3})=3\)

例題３

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_0^3 5 dx \)

解説

\(\displaystyle \int_0^3 5 dx \)

\(= \left[ \displaystyle 5x \right]_0^3=5\cdot3-5\cdot0=15\)

例題４

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_2^{-1} (2x+1) dx \)

解説

上端が下端より小なので違和感があるかもしれませんが、特別なことはありません。
今まで通りの計算をすればＯＫです。

\(\displaystyle \int_2^{-1} (2x+1) dx \)

\(= \left[ \displaystyle x^2+x \right]_2^{-1}\)

\(=\{(-1)^2+(-1)\}-(2^2+2)\)

\(=-6\)

定積分って何？

なにこれ？は一回おいておいて、定積分では定数が求まる！
と暗記して計算練習と割り切っていただくことが、
まずはよいかと思います。
学習が進めば、それに対する答えの記事に出会うことでしょう。