積分と積分定数の決定

積分をして、もとの関数を求める問題を学習します。

\(f(x)\) を積分すると、\(F(x)+C\) (\(C\) は積分定数)

つまり、これだけでは \(1\) つには定まりません。

もう \(1\) つ条件が付加されることで関数が決定されます。

例題１

次の条件を満たす関数 \(F(x)\) を求めなさい。
\(F´(x)=x^2-x+1\)
\(F(0)=2\)

解説

\(F(x)=\displaystyle \int F´(x) dx\)

\(=\displaystyle \int (x^2-x+1) dx\)

\(=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+C\)　(\(C\) は積分定数)

\(F(0)=2\) なので、
\(F(0)=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 0^3-\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 0^2+0+C=2\)

したがって、\(C=2\)

よって、
\(F(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+2\)

例題２

点 \((1,-1)\) を通る曲線 \(y=f(x)\) がある。この曲線上の点 \((x,y)\) における接線の傾きは \(3x^2+x-1\) であるとき、この曲線の方程式を求めなさい。

解説

\(f´(x)=3x^2+x-1\) より、

\(f(x)=\displaystyle \int f´(x) dx\)

\(=\displaystyle \int (3x^2+x-1)dx\)

\(=x^3+\displaystyle \frac{1}{2}x^2-x+C\) (\(C\) は積分定数)

また、曲線 \(y=f(x)\) は、点 \((1,-1)\) を通るので、
\(f(1)=-1\)
したがって
\(f(1)=1^3+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1^2-1+C=-1\)

より、 \(C=-\displaystyle \frac{3}{2}\)

よって、もとめる曲線の方程式は
\(y=x^3+\displaystyle \frac{1}{2}x^2-x-\displaystyle \frac{3}{2}\)