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接弦定理

円と接線と弦のつくる角の定理なので、接弦定理という名前がついていますが、

円と接線と、「内接三角形」のときに用いる定理と覚えるのが良いでしょう。

とにかく図で覚えます。

例１
直線 $L$ が点 $A$ で接しているとき、角 $\angle CAB$ を求めなさい。

解答
接弦定理より、点 $A$ の左の角の大きさは、$\angle B$ の大きさと等しく $75°$

$\angle CAB=180-(40+75)=65°$

接弦定理の証明

なぜ接弦定理が成り立つのか見ていきましょう。

円があれば、その中心から補助線を引きます。
そうすれば、図形的性質が明らかになります。

半径を辺とする二等辺三角形が $3$ つできます。
その底角をそれぞれ $x,y,z$ とおきました。

三角形 $ABC$ の内角の和より、
$2x+2y+2z=180°$
より、
$x+y+z=90°$
が成り立ちます。

また、$OA$ と $L$ は垂直です。

よって、下図のピンク色の角の大きさは $y+z$ であり、等しくなります。

左側の角も同様に示せます。

例題１

下の図において、
$AB=10cm$ の長方形が円に内接している。
$BAE=60°$ のとき、この円の面積を求めなさい。

ただし、直線 $E$ は円の接線、 $A$ は接点である。

解説

接弦定理を知らなくとも解けます。

角 $DAB$ が直角なので、$BD$ は円の直径です。中心を $O$ とします。

円の中心と接点を結ぶ補助線を引くのは定石ですね。

もし接弦定理を知っていれば、$O$ から $A$ への補助線なしで、解決します。

よって、三角形 $BDA$ は、正三角形を半分にした三角定規型の有名三角形です。
$AB=10cm$ から、$AD=10×\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}$

$AD$ の長さは、円の半径と等しいので、この円の面積は

$\pi(\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3})^2=\displaystyle \frac{100}{3}\pi$