円に内接する四角形

例１
下の図で、角 \(x\) を求めなさい。

解答
円に内接する四角形の性質より、

\(180-105=75°\) で解決！

円に内接する四角形の性質の証明

なぜ上の性質が成り立つのか。
中学生でも簡単にわかります。

説明１ 円周角の定理より

\(2\) つの中心角の和より、\(2x+2y=360°\)

同じ弧の円周角は中心角の半分の大きさなので、
\(x+y=180°\)
以上、示せました！

説明２ 中心から補助線

円があれば、その中心から補助線を引くのが定跡です。
そうすれば、図形的性質が明らかになります。

半径を辺とする二等辺三角形が \(4\) つできます。
各色すべての角の大きさを \(2\) つずつ足すと、四角形の内角の和 \(360°\) です。
つまり、その半分、各色すべてを \(1\) つずつ足すと、\(180°\) です。

向いあう角の色を見ると、各色すべての角が \(1\) つずつになっています。

よって、向かい合う角の和は \(180°\) です。

以上、示せました！

例題１

下の図において、角 \(x\) を求めなさい。

解説

内接四角形の性質を知らなくとも解けます。
円周角の定理です（内接四角形の性質も円周角の定理そのものでしたね）。

赤い弧の円周角と中心角の関係より、\(48×2=96°\)

\(360-96=264°\)
これは青い弧の中心角です。
円周角と中心角の関係より、\(264÷2=132°\)

よって、四角形の内角より、
\(x=360-(96+70+132)=62°\)

以上求まりました。

もし内接四角形の性質を知っていれば、\(132°\) を求める過程で近道ができますね。
\(180-48=132°\)
だからです。