三角関数の合成

↑ 何が何だかわかりませんね。
様々な参考書にある「三角関数の合成のまとめ」ですが、わかりにくいったらありません。
当サイトの究極の説明 ↓ を読んでいってくださいね。

三角関数の合成のポイント！

ずばり結論を書きましょう。
三角関数の合成と密接に関連しているのは

「加法定理」なのです。

もう一度合成の式に登場してもらいましょう

$a \sin \theta + b \cos \theta =\sqrt{a^2+b^2} \sin ( \theta+ \alpha)$

この式は、
「右辺を加法定理を用いてバラせば、左辺になる」
と解釈することができます。

もちろん我々がこれからやることは、その逆、
「左辺のバラバラの三角関数を合成して、右辺を作り出すこと」
です。

つまり、三角関数の合成とは、
加法定理の逆操作なのです！

まずこれを頭にたたきこみましょう。

例えるならば、
三角関数の展開が加法定理、合成は、三角関数の因数分解です。
もちろん因数分解の方が難しいわけです。

三角関数の合成を徹底分析する！

問題作成者はどうやってこの問題を作っているかというと、
答えを先に決めます。

ちなみにこの問題の答えは
$2\sin (\theta+120°)$ です。
※度数法でいきます。弧度法の負荷は今はなしで、合成に集中しましょう。

これが答えになるように、先の問題を作っていきますよ。

$2\sin (\theta+120°)$ を加法定理でバラバラにします。

$2\sin (\theta+120°)=2\sin \theta \cos 120°+ 2\sin 120° \cos \theta$

$\cos 120°=-\displaystyle \frac{1}{2}$

$\sin 120° = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

なので、

$2\sin (\theta+120°)=2×(-\displaystyle \frac{1}{2}) \sin \theta + 2×( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos \theta$

$2\sin (\theta+120°)=-\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$

です。

これで問題ができました。

右辺のみを見せて、左辺の形に変形せよ、と出題するわけです。
$r=2$ と $\alpha =120°$ を求めろ、という問題なのです。

ですから、どうやって三角関数の合成をするのかというと
今見てきた流れを逆にたどるのです。

改めて問題として提示します。

では解いて行きますよ！
①$r\sin (\theta+ \alpha)=r\sin \theta \cos \alpha+r\cos \theta \sin \alpha$
②$r\sin (\theta+ \alpha)=- \sin \theta +\sqrt{3} \cos \theta$

①と②が等しくなるように係数を比較します。

①$r\sin (\theta+ \alpha)=$$r$$\sin \theta$ $\cos \alpha$$+$$r$$\cos \theta$$\sin \alpha$
②$r\sin (\theta+ \alpha)=$$-$$\sin \theta +$$\sqrt{3}$$\cos \theta$

赤い部分に注目すれば、
$r\cos \alpha =-1$

青い部分に注目すれば、
$r\sin \alpha = \sqrt{3}$

これらを満たす $r$ と $\alpha$ を探せばいいわけです。

$r$ と $\alpha$ は、
半径 $r$ の円周上から見つけます。

単位円ばっかり使ってきたのですが、
三角関数の合成においては半径 $r$ の円を使う！
覚えちゃってください。
$\cos \theta$ は $x$ 座標
$\sin \theta$ は $y$ 座標
あたりまえですね！

水色の直角三角形は、辺の比と角度を暗記している有名三角形ですね。
$r=2$
$\alpha=120°$ と求まりました。
これで合成が完了したわけです！！
※ $r$ は三平方の定理から求めても可。

つまり、
$- \sin \theta +\sqrt{3} \cos \theta=2\sin (\theta+120°)$

例題２

$2 \sin \theta+ 2 \cos \theta$ を $r\sin (\theta+ \alpha)$ の形で表しなさい。
ただし、$0 \leqq \alpha \lt 2\pi$ とする。

解説

「合成は加法定理の逆」とまず暗記です。
加法定理の式と、係数の比較をします。

①$r\sin (\theta+ \alpha)=r\sin \theta \cos \alpha+r\cos \theta \sin \alpha$
②$r\sin (\theta+ \alpha )=2 \sin \theta+ 2 \cos \theta$

①$r\sin (\theta+ \alpha)=$$r$$\sin \theta$ $\cos \alpha$$+$$r$$\cos \theta$$\sin \alpha$
②$r\sin (\theta+ \alpha)=$$2$$\sin \theta +$$2$$\cos \theta$

よって、
$r\cos \alpha=2$
$r\sin \alpha=2$

これを満たす $r$ と $\alpha$ は、
半径 $r$ の円周上から見つけます。

水色の直角三角形は、辺の比と角度を暗記している有名三角形ですね。
$r=2\sqrt{2}$
$\alpha=45°$ と求まりました。

つまり、
$2 \sin \theta +2 \cos \theta=2\sqrt{2}\sin (\theta+45°)$