$-a$ から $a$ までの定積分

積分区間が $-a$ から $a$ までの定積分は、次数が偶数の項と奇数の項で分けます。

厳密さを無視してキャッチコピーをつければ、

偶関数は $2$ 倍、奇関数は $0$

となります。

これが成立するのは当たり前ですよね。

$n$ が整数のとき

$a^{2n}-(-a)^{2n}=a^{2n}-a^{2n}=0$

$a^{2n+1}-(-a)^{2n+1}=a^{2n+1}+a^{2n+1}=2a^{2n}$

負の数の偶数乗は正
負の数の奇数乗は負
要はこれだけの話です。

例題１

次の定積分を求めなさい。
$\displaystyle \int_{-2}^2 (x^3+3x^2+2x-1) dx$

解説

定数項は $0$ 次です。つまり偶数次の項です。

$\displaystyle \int_{-2}^2 (x^3+3x^2+2x-1) dx$

$=\displaystyle \int_{-2}^2 (x^3+2x) dx+\displaystyle \int_{-2}^2 (3x^2-1) dx$

$=0+2\displaystyle \int_0^2 (3x^2-1) dx$

$=2\left[x^3-x \right]_0^2$

$=2(2^3-2)=12$

例題２

次の定積分を求めなさい。
$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^4+x+3) dx+\displaystyle \int_1^2 (x^4+x+3)dx$

解説

積分される関数が同じなので、まとめることが思いつきますね。

$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^4+x+3) dx+\displaystyle \int_1^2 (x^4+x+3)dx$

$=\displaystyle \int_{-2}^2 (x^4+x+3) dx$

$=2\displaystyle \int_0^2 (x^4+3) dx$

$=2\left[\displaystyle \frac{1}{5}x^5+3x \right]_0^2$

$=2(\displaystyle \frac{1}{5}\cdot2^5+3\cdot2)=\displaystyle \frac{124}{5}$