-aから aまでの積分
−a から a までの定積分
積分区間が −a から a までの定積分は、次数が偶数の項と奇数の項で分けます。
−a から a までの定積分
n を整数とする。
∫a−ax2ndx=2∫a0x2ndx
∫a−ax2n+1dx=0
厳密さを無視してキャッチコピーをつければ、
偶関数は 2 倍、奇関数は 0
となります。
これが成立するのは当たり前ですよね。
n が整数のとき
a2n−(−a)2n=a2n−a2n=0
a2n+1−(−a)2n+1=a2n+1+a2n+1=2a2n
負の数の偶数乗は正
負の数の奇数乗は負
要はこれだけの話です。
例題1
次の定積分を求めなさい。
∫2−2(x3+3x2+2x−1)dx
解説
定数項は 0 次です。つまり偶数次の項です。
∫2−2(x3+3x2+2x−1)dx
=∫2−2(x3+2x)dx+∫2−2(3x2−1)dx
=0+2∫20(3x2−1)dx
=2[x3−x]20
=2(23−2)=12
例題2
次の定積分を求めなさい。
∫1−2(x4+x+3)dx+∫21(x4+x+3)dx
解説
積分される関数が同じなので、まとめることが思いつきますね。
∫1−2(x4+x+3)dx+∫21(x4+x+3)dx
=∫2−2(x4+x+3)dx
=2∫20(x4+3)dx
=2[15x5+3x]20
=2(15⋅25+3⋅2)=1245