-aから aまでの積分

a から a までの定積分

積分区間が a から a までの定積分は、次数が偶数の項と奇数の項で分けます。

a から a までの定積分

n を整数とする。

aax2ndx=2a0x2ndx

aax2n+1dx=0


厳密さを無視してキャッチコピーをつければ、

偶関数は 2 倍、奇関数は 0

となります。

これが成立するのは当たり前ですよね。

n が整数のとき

a2n(a)2n=a2na2n=0

a2n+1(a)2n+1=a2n+1+a2n+1=2a2n

負の数の偶数乗は正
負の数の奇数乗は負
要はこれだけの話です。

例題1

次の定積分を求めなさい。
22(x3+3x2+2x1)dx

解説

定数項は 0 次です。つまり偶数次の項です。

22(x3+3x2+2x1)dx

=22(x3+2x)dx+22(3x21)dx

=0+220(3x21)dx

=2[x3x]20

=2(232)=12

例題2

次の定積分を求めなさい。
12(x4+x+3)dx+21(x4+x+3)dx

解説

積分される関数が同じなので、まとめることが思いつきますね。

12(x4+x+3)dx+21(x4+x+3)dx

=22(x4+x+3)dx

=220(x4+3)dx

=2[15x5+3x]20

=2(1525+32)=1245