定積分の基本公式

定積分の計算において、以下のような計算規則が成り立ちます。

いずれも、不定積分の公式に積分区間がついただけです。
深く考えるよりも、まずは計算に習熟しましょう。

特に、２，３つめの式が重要です。
\(\displaystyle \int_a^b f(x) dx \pm \displaystyle \int_a^b g(x) dx = \displaystyle \int_a^b \{f(x) \pm g(x)\} dx\)
\(2\) つの関数の定積分の上端と下端の両方が同じ（積分区間が同じ）とき、は \(1\) つにまとめることができる、という意味です。

積分区間が同じものは、まとめて積分です。

例題１

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_{-1}^2 (3x^2+4x-1) dx -\displaystyle \int_{-1}^2 (4x^2-x+6) dx \)

解説

積分区間が同じなので、
\(\displaystyle \int_{-1}^2 \{f(x)-g(x)\} dx\) を使いましょう。

\(\displaystyle \int_{-1}^2 (3x^2+4x-1) dx – \displaystyle \int_{-1}^2 (4x^2-x+6) dx \)

\(=\displaystyle \int_{-1}^2 \{(3x^2+4x-1)-(4x^2-x+6)\} dx \)

\(=\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+5x-7) dx \)

\(=\left[-\displaystyle \frac{1}{3}x^3+\displaystyle \frac{5}{2}x^2-7x \right]_{-1}^2\)

\(\begin{eqnarray}= &- & \hspace{ 2pt }\displaystyle \frac{1}{3}\{2^3-(-1)^3\} \\ &+& \hspace{ 2pt }\hspace{ 0pt }\displaystyle \frac{5}{2}\{2^2-(-1)^2\} \\ &-& \hspace{ 5pt }7\{2\hspace{ 4pt }-(-1)\hspace{ 4pt }\} \end{eqnarray}\)

\(=-\displaystyle \frac{33}{2}\)

おススメしませんが、\(F(2)-F(-1)\) を律儀に計算するならば、
\(=-\displaystyle \frac{1}{3}\cdot2^3+\displaystyle \frac{5}{2}\cdot2^2-7\cdot2\)\(-\{-\displaystyle \frac{1}{3}\cdot(-1)^3+\displaystyle \frac{5}{2}\cdot(-1)^2-7\cdot(-1)\}\)

\(=-\displaystyle \frac{33}{2}\)

定積分の基本性質

定積分の計算では、以下の \(3\) つも成り立ちます。
特に、\(3\) つめの式が重要です。

\(\displaystyle \int_a^a f(x) dx=0\)

これはあたりまえですね。
\(\displaystyle \int_a^a f(x) dx=F(a)-F(a)=0\)

\(\displaystyle \int_a^b f(x) dx= -\displaystyle \int_b^a f(x) dx\)

(左辺)\(=\displaystyle \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)\)

(右辺)\(=-\displaystyle \int_b^a f(x) dx=-(F(a)-F(b))=F(b)-F(a)\)

成立はあたえまえですね。深く考えないで積分の計算規則になれましょう。
感覚的には、逆に積分すると、符号が逆になる、と覚えればＯＫです。

\(\displaystyle \int_a^c f(x) dx +\displaystyle \int_c^b f(x) dx =\displaystyle \int_a^b f(x) dx\)

同一の関数 \(f(x)\) の積分区間を、途中でわけることもできるし、逆につなげることもできる、という意味です。

\(a \sim c + c \sim b \) という \(2\) つの積分の和と \(a \sim b\) という積分が一致するのです。
感覚的に成り立ちそうじゃないですか。それでＯＫです。

例題２

次の定積分を求めなさい。

\(\displaystyle \int_{-2}^1 (3x^2+4x-1) dx + \displaystyle \int_1^3 (3x^2+4x-1) dx\)

解説

被積分関数が同じなので、まとめることができます。
積分区間が、\(-2 \sim 1\) と \(1 \sim 3\) と分かれていますが、繋げて \(-2 \sim 3\) にまとめてしまいましょう。

\(\displaystyle \int_{-2}^1 (3x^2+4x-1) dx + \displaystyle \int_1^3 (3x^2+4x-1) dx\)

\(=\displaystyle \int_{-2}^3 (3x^2+4x-1) dx\)

\(=\left[x^3+2x^2-x \right]_{-2}^3\)

\(\begin{eqnarray}= & & \hspace{ 6pt }\{3^3-(-2)^3\} \\ &+& \hspace{ 0pt }\hspace{ 1pt }2\{3^2-(-2)^2\} \\ &-& \hspace{ 8pt }\{3\hspace{ 4pt }-(-2)\hspace{ 4pt }\} \end{eqnarray}\)

\(=40\)

例題３

次の定積分を求めなさい。

\(\displaystyle \int_{-1}^1 (x^2-2x+5) dx – \displaystyle \int_2^1 (x^2-2x+5) dx\)

解説

被積分関数が同じなので、まとめることを第一に考えます。

\(- \displaystyle \int_2^1 (x^2-2x+5) dx=\displaystyle \int_1^2 (x^2-2x+5)dx\)

を使います。

\(\displaystyle \int_{-1}^1 (x^2-2x+5) dx – \displaystyle \int_2^1 (x^2-2x+5) dx\)

\(=\displaystyle \int_{-1}^1 (x^2-2x+5) dx + \displaystyle \int_1^2 (x^2-2x+5) dx\)

\(=\displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-2x+5) dx \)

\(=\left[\displaystyle \frac{1}{3}x^3-x^2+5x \right]_{-1}^2\)

\(\begin{eqnarray}= & & \displaystyle \frac{1}{3}\{2^3-(-1)^3\} \\ &-& \hspace{ 2pt }\hspace{ 7pt }\{2^2-(-1)^2\} \\ &+& \hspace{ 4pt }5\{2\hspace{ 4pt }-(-1)\hspace{ 4pt }\} \end{eqnarray}\)

\(=15\)

例題４

次の定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int_{-1}^2 (6x^2-x) dx – \displaystyle \int_{-1}^1 (6x^2-x) dx\)

解説

\(\displaystyle \int_{-1}^2 (6x^2-x) dx – \displaystyle \int_{-1}^1 (6x^2-x) dx\)

\(=\displaystyle \int_{-1}^1 (6x^2-x) dx +\displaystyle \int_1^2 (6x^2-x) dx\)\(- \displaystyle \int_{-1}^1 (6x^2-x) dx\)

\(=\displaystyle \int_1^2 (6x^2-x) dx\)

\(=\left[2x^3-\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \right]_1^2\)

\(\begin{eqnarray}= & & 2\hspace{ 3pt }\{2^3-1^3\} \\ &-& \hspace{ 0pt }\displaystyle \frac{1}{2}\{2^2-1^2\} \\\end{eqnarray}\)

\(=\displaystyle \frac{25}{2}\)

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