方程式の複素数解

証明は初心者には不要です。
とにかく覚えておきましょう。

例題１

\(x^3+ax^2+2x+b=0\) が \(1+\sqrt{3}i\) を解にもつとき、実数の係数 \(a,b\) の値を求めなさい。また、残りの解を求めなさい。

解説

解は代入します。

\(1+\sqrt{3}i\) を解にもつから、\(x^3+ax^2+2x+b=0\) に代入して、

\((1+\sqrt{3}i)^3+a(1+\sqrt{3}i)^2+2(1+\sqrt{3}i)+b=0\)
\((1+3\sqrt{3}i-9-3\sqrt{3}i)+a(1+2\sqrt{3}i-3)+2(1+\sqrt{3}i)+b=0\)

左辺を \(i\) について整理します。

\(2\sqrt{3}(a+1)i+(-2a+b-6)=0\)

\(a,b\) は実数なので、\(2\sqrt{3}(a+1),-2a+b-6\) も実数だから、

\(2\sqrt{3}(a+1)=0\)
\(-2a+b-6=0\)

これを解いて、\(a=-1,b=4\)

このときもとの方程式は
\(x^3-x^2+2x+4=0\)

ではこの \(3\) 次方程式を解きます。
因数定理ですね。

\(f(x)=x^3-x^2+2x+4\) とすると

\(f(-1)=0\)

より、\((x+1)\) を因数に持ちます。

\(x^3-x^2+2x+4=0\)
\((x+1)(x^2-2x+4)=0\)

解の公式を用いて、
\(x=-1,1\pm\sqrt{3}i\)

別解

\(P(x)=x^3+ax^2+2x+b=0\) ・・・①
とする。

\(1+\sqrt{3}i\) が \(P(x)\) の解だから、その共役複素数 \(1-\sqrt{3}i\) も \(P(x)\) の解である。
残りの解を \(x=\alpha\) とすると、

\(P(x)=(x-\alpha)\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}\)

\(\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}=x^2-2x+4\) なので、

\(P(x)=(x-\alpha)\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}\)

\(=(x-\alpha)(x^2-2x+4)\)

\(=x^3+(-\alpha-2)x^2+(2\alpha+4)x-4\alpha\)・・・②

①と②の係数を比較すると、

\(a=-\alpha-2\)
\(2=2\alpha+4\)
\(b=-4\alpha\)

より、\(\alpha=-1\)、\(a=-1,b=4\)

以上求まりました。
\(a=-1,b=4\)
残りの解は、\(-1,1-\sqrt{3}i\)