1の3乗根

1の3乗根 \(\omega\) (オメガ)

\(1\) の \(3\) 乗根とは、 \(3\) 乗して \(1\) になる数のことであり、つまり

\(x^3=1\)

という \(3\) 次方程式の解です。

この方程式の解は \(3\) つあります。

\(1\) と \(\displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}\) です。

虚数の解が \(2\) つありますが、そのうちの \(1\) つを \(\omega\) (オメガと読む)とすると、
以下のことが成り立ちます。

\(\omega^3=1\)

\(\omega^2\) も\(1\) の \(3\) 乗根
※ちなみに、\(\omega^2\) は、\(\omega\) としなかったもう \(1\) つの虚数解です。

つまり、\(1\) の \(3\) 乗根は、\(1\) と \(\omega\) と \(\omega^2\) の \(3\) つ。

この \(3\) つの和は \(0\) になります。
\(\omega^2+\omega+1=0\)

上の性質は、\(2\) つの虚数解の、どちらを \(\omega\) としても成り立ちます。
※数学Ⅲで、複素数平面を学習することでいろいろ納得されると思います。

以上のことから成り立つ性質として、以下のことが重要です。

\(k\) を自然数とすると

\(\omega^{3k}=(\omega^3)^k=1^k=1\)

\(\omega^{3k+1}=\omega^{3k} \cdot \omega=\omega\)

\(\omega^{3k+2}=\omega^{3k} \cdot \omega^2=\omega^2\)


高校数学無料学習サイトko-su- オメガの輪環の順
この性質を用いて、\(\omega^k\) の次数を下げることができます。

例えば
\(\omega^{100}=\omega^{99} \cdot \omega=(\omega^3)^{33} \cdot \omega=\omega\)

例題1

\(x^3=1\) の虚数解の \(1\) つを \(\omega\) とするとき、次の式の値を求めなさい。

(1)\(\omega^{10}+\omega^8\)
(2)\((1+\omega-\omega^2)(1-\omega+\omega^2)\)
(3)\((1+\omega)(1+\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^5)\)

解説

(1)\(\omega^{10}+\omega^8\)

\(\omega^3=1\) なので、
\(\omega^{10}=\omega^9 \cdot \omega=(\omega^3)^3 \cdot \omega=\omega\)

\(\omega^8=\omega^6 \cdot \omega^2=(\omega^3)^2 \cdot \omega^2=\omega^2\)

したがって、
\(\omega^{10}+\omega^8=\omega+\omega^2\)

\(=(\omega^2+\omega+1)-1\)

\(=-1\)

※ \(\omega^2+\omega+1=0\) を用いました。

(2)\((1+\omega-\omega^2)(1-\omega+\omega^2)\)

\(\omega^2+\omega+1=0\) なので、 \(\omega^2=-\omega-1\)
これを与式に代入すると、

\((1+\omega-\omega^2)(1-\omega+\omega^2)\)

\(=\{1+\omega-(-\omega-1)\}\{1-\omega+(-\omega-1)\}\)

\(=(1+\omega+\omega+1)(1-\omega-\omega-1)\)

\(=2(1+\omega)(-2\omega)\)

\(=-4(\omega+\omega^2)\)

\(=-4(\omega+\omega^2+1-1)\)

\(=-4×(-1)\)

\(=4\)

(3)\((1+\omega)(1+\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^5)\)

\((1+\omega)(1+\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^5)\)

\(=(1+\omega)(1+\omega^2)(1-\omega^3\cdot \omega)(1-\omega^3\cdot \omega^2)\)

\(=(1+\omega)(1+\omega^2)(1-\omega)(1-\omega^2)\)

\(=(1+\omega)(1-\omega)×(1+\omega^2)(1-\omega^2)\)

\(=(1-\omega^2)(1-\omega^4)\)

\(=(1-\omega^2)(1-\omega)\)

\(=(1-\omega-\omega^2+\omega^3)\)

\(=(1-\omega-\omega^2+1)\)

\(=(2-\omega-\omega^2)\)

\(=\{2-(\omega+\omega^2)\}\)

\(=\{2-(-1)\}\)

\(=3\)

オメガに関する考察

オメガの値

方程式、\(x^3=1\) を解いてみましょう。

\(x^3=1\)
\(x^3-1=0\)
因数分解の公式を適用して、
\((x-1)(x^2+x+1)=0\)
したがって、
\(x-1=0\) または、
\(x^2+x+1=0\)

\(x-1=0\) のとき、 \(x=1\)
\(x^2+x+1=0\) のとき、
\(x^2+x+1=0\) に解の公式を用いて、
\(x=\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2}\)

\(\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}\)

以上より、\(x^3=1\) を満たす \(x\) は

\(1,\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}\) です。

オメガの公式の確認

虚数の解が \(2\) つありますが、そのうちの \(1\) つを \(\omega\) とすると、

\(\omega^2\) も\(1\) の \(3\) 乗根
※ちなみに、\(\omega^2\) は、\(\omega\) としなかったもう \(1\) つの虚数解です。

\(\omega^2+\omega+1=0\)

が成り立ちます。

これらが確かに成り立つことを確かめておきましょう。

\(\omega^2\) も\(1\) の \(3\) 乗根

結局 \(\omega\) は \(\displaystyle \frac{-1 +\sqrt{3}i}{2}\) でも、\(\displaystyle \frac{-1 -\sqrt{3}i}{2}\) でも、どちらでも良いということなのですが・・・

確かめておきましょう。

\(\omega=\displaystyle \frac{-1 +\sqrt{3}i}{2}\) とすると、

\(\omega^2=(\displaystyle \frac{-1 +\sqrt{3}i}{2})^2\)

\(= \displaystyle \frac{1 -2\sqrt{3}i-3}{4}\)

\(= \displaystyle \frac{-2 -2\sqrt{3}i}{4}\)

\(= \displaystyle \frac{-1 -\sqrt{3}i}{2}\)

確かに、\(\omega^2\) は、\(\omega\) としなかったもう \(1\) つの虚数解です。

では、
\(\omega=\displaystyle \frac{-1 -\sqrt{3}i}{2}\) とすると、

\(\omega^2=(\displaystyle \frac{-1 -\sqrt{3}i}{2})^2\)

\(= \displaystyle \frac{1 +2\sqrt{3}i-3}{4}\)

\(= \displaystyle \frac{-2 +2\sqrt{3}i}{4}\)

\(= \displaystyle \frac{-1 +\sqrt{3}i}{2}\)

こちらも、\(\omega^2\) は、\(\omega\) としなかったもう \(1\) つの虚数解です。

\(\omega^2+\omega+1=0\)

実際に計算して見るとすぐにわかります。

\(\displaystyle \frac{-1 +\sqrt{3}i}{2}+\displaystyle \frac{-1 -\sqrt{3}i}{2}+1=0\)