順列と確率
順列と確率
基本的に確率は、「場合の数」を求めることに終始します。
適切に場合の数を求められるように、必要ならば「場合の数」の単元を読み返しましょう。
例題1
男子 4 人と女子 3 人が 1 列に並ぶとき、次の確率を求めなさい。
(1)女子 3 人が続いて並ぶ
(2)両端が男子である
(3)男女が交互に並ぶ
解説
何の条件もない 7 人の並び方の総数を分母とし、それぞれ「条件を満たす場合の数」を分子として、確率を求めます。
全問題に共通の分母を求めておきます。
7 人が一列に並ぶ並び方の総数は、
7! 通りです。
(1)女子 3 人が続いて並ぶ
女子 3 人を一かたまりとすれば、
男子 4 人と、女子のかたまり 1 つの、合計 5 つのものの順列なので、5! 通り。
さらに、女子は、一かたまりの中で並べ替えがあるので、3 人の順列で 3! 通り
よって、女子 3 人が続いて並ぶ並び方の総数は、5!×3! 通り
よって求める確率は、
5!×3!7!=5×4×3×2×1×3×2×17×6×5×4×3×2×1=3×2×17×6=17
以上求まりました。
(2)両端が男子である
左端と右端に 2 人を並べます。男子 4 人から 2 人を選んで並べるので、
4P2 通り。
さらに、間に入る 5 人の並べ方は、5 人の順列で 5! 通り
よって、両端が男子である並び方の総数は、4P2×5! 通り
よって求める確率は、
4P2×5!7!=4×3×5×4×3×2×17×6×5×4×3×2×1=4×37×6=27
(3)男女が交互に並ぶ
「男女男女男女男」と並ぶことになります。
男子 4 人は、4 人の順列で 4! 通り
女子 3 人は、3 人の順列で 3! 通り
よって、男女が交互に並ぶ並び方の総数は、4!×3! 通り
よって求める確率は、
4!×3!7!=4×3×2×1×3×2×17×6×5×4×3×2×1=3×2×17×6×5=135
例題2
男子 4 人と女子 3 人が円形に並んで輪をつくるとき、次の確率を求めなさい。
(1)女子 3 人が続いて並ぶ
(2)女子が隣り合わない
解説
全問題に共通の分母を求めておきます。
7 人が円形に並ぶ円順列の総数は、
(7−1)! 通りです。
(1)女子 3 人が続いて並ぶ
女子 3 人を一かたまりとすれば、
男子 4 人と、女子のかたまり 1 つの、合計 5 つのものの円順列なので、(5−1)! 通り。
さらに、女子は、一かたまりの中で並べ替えがあるので、3 人の順列で 3! 通り
よって、女子 3 人が続いて並ぶ並び方の総数は、(5−1)!×3! 通り
よって求める確率は、
(5−1)!×3!(7−1)!=4×3×2×1×3×2×16×5×4×3×2×1=3×2×16×5=15
以上求まりました。
(2)女子が隣り合わない
ちょっと難しいです。
きちんと図示をして、頭の中を整理して、論理的に計算を進めましょう。
男子を円形に並べ、その間に 1 人ずつ女子を入れます。
図示するために、男子にア、イ、ウ、エと名前をつけます。
男子 4 人の円順列は、(4−1)! 通りあります。
その中の一例です。
女子 3 人を P,Q,R と名前をつけます。
この3人が、それぞれ下図の 1,2,3,4 のどこに入るかを決めます。
P が 1 番に入るときのかき出しは下図です。
つまり、1,2,3,4 から 3 つを選んで並べる順列であることがわかりました。
つまり、4P3 通り。
以上合わせて、女子が隣り合わない並び方は、
(4−1)!×4P3 通り。
よって、求める確率は、
(4−1)!×4P3(7−1)!=3×2×1×4×3×26×5×4×3×2×1=15
以上求まりました。