因数定理

多項式 $P(x)$ が $1$ 次式 $x-k$ を因数にもつ　 $\longleftrightarrow$ 　 $P(k)=0$

多項式

$P(x)$ が

$1$ 次式

$x-k$ を因数にもつとは、多項式

$P(x)$ が

$1$ 次式

$x-k$ で割り切れるという意味です。

$P(x)$ を $x-k$ で割ったら割り切れるとき、
$P(x)=(x-k)Q(x)$
とおけます。
割り切れるのですから、余りがでないということです。

$P(k)=(k-k)Q(k)=0$
つまり、
$P(k)=0$
が成り立ちます。

結局、因数定理とは、乗余の定理において、余りが $0$ のときのことです。

$x$ の整式 $x^3-6x^2+ax+b$ が、 $x+1,x-2$ でともに割り切れるとき、定数 $a,b$ の値を求めなさい。

$P(x)=x^3-6x^2+ax+b$ とおくと、因数定理より、
$P(-1)=0$
つまり、
$P(-1)=(-1)^3-6\cdot(-1)^2+a\cdot(-1)+b=0$
$-a+b=7$ ・・・①

$P(2)=2^3-6\cdot2^2+a\cdot2+b=0$
$2a+b=16$ ・・・②
①②を解いて、
$a=3,b=10$

整式 $P(x)$ は、 $x-1$ で割ると $3$ 余り、 $x+2$ で割ると割り切れる。このとき、 $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めなさい。

$P(x)$ を $2$ 次式 $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは、 $1$ 次式以下なので、
商を $Q(x)$ とすると、余りは $ax+b$ とおける。

つまり、
$P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b$ ・・・①
剰余の定理より、
$P(1)=3$
また①より、
$P(1)=a+b$
したがって、 $a+b=3$ ・・・②

また、因数定理より、
$P(-2)=0$
①より、
$P(-2)=-2a+b$
したがって、 $-2a+b=0$ ・・・③
②、③を連立して解いて、 $a=1,b=2$
よって、求める余り $ax+b$ は $x+2$