不定積分
不定積分
ある関数を微分したら、\(3x^2\) になった。
もとの関数はなんであったのだろうか？
これはつまり、微分の逆を考えるということです。
展開と因数分解
指数と対数
数学において逆の関係を考えるのって、よくあることですね。
さて、微分すると、\(3x^2\) になる関数は？
答えは、
\((x^3)´=3x^2\)
\((x^3+1)´=3x^2\)
\((x^3+100)´=3x^2\)
つまり、この問題の答えは定数項の違いによって無数に存在します。
これらをまとめて、\(x^3+C\) (\(C\) は定数項で、積分定数という）とかきます。
\(x^3+C\) を \(3x^2\) の原始関数、または不定積分といい
\(\displaystyle \int 3x^2 dx\)
と表記します。
もちろん
\(\displaystyle \int 3x^2 dx =x^3+C \) (\(C\) は積分定数）
となります。このとき、(\(C\) は積分定数）という決まり文句をつけます。
暗記してください！！
つまり、
\(\displaystyle \int f(x) dx=F(x)+C\) (\(C\) は積分定数）
\(\displaystyle \int f(x) dx\) を求めることを、\(f(x)\) を積分するといいます。
\(x^n\) の不定積分
数学Ⅱで学習する積分は、\(x^n\) の積分のみです。
※数学Ⅲでは、三角関数や指数・対数関数の微分、積分も学習します。
\(x^n\) の不定積分は以下のようになります。
右辺を微分すれば、ただちに確かめられますね。
\(\displaystyle \int x^n dx=\displaystyle \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\) (\(C\) は積分定数）
例
\(\displaystyle \int x^3 dx=\displaystyle \frac{1}{4}x^4+C\) (\(C\) は積分定数）
\(\displaystyle \int x^2 dx=\displaystyle \frac{1}{3}x^3+C\) (\(C\) は積分定数）
\(\displaystyle \int x dx=\displaystyle \frac{1}{2}x^2+C\) (\(C\) は積分定数）
\(\displaystyle \int 1 dx=x+C\) (\(C\) は積分定数）
定数倍、和と差の不定積分
\(k\) を定数とするとき、
\(\displaystyle \int kf(x) dx=k \displaystyle \int f(x) dx\)
\(\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\} dx=\displaystyle \int f(x) dx +\displaystyle \int g(x) dx \)
\( \displaystyle \int \{f(x)-g(x)\} dx=\displaystyle \int f(x) dx -\displaystyle \int g(x) dx \)
なんとも直感通りの計算が成立します。
公式として暗記ってほどのこともないです。
例
\(\displaystyle \int 4x^2 dx=4×\displaystyle \int x^2 dx=4×\displaystyle \frac{1}{3}x^3+C=\displaystyle \frac{4}{3}x^3+C\) (\(C\) は積分定数）
\(C\) はなんで \(4C\) としないのか？
\(C\) はすべての定数を含んでいるので、改めて書き直す必要はないのです。
むしろ、\(4C\) と書いてある方が変なのです。
※\(4×\displaystyle \int x^2 dx\) は普通 \(4\displaystyle \int x^2 dx\) と表記します。
例題１
次の不定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int (6x^2-1) dx+\displaystyle \int (4x+3) dx\)
解説
\(\displaystyle \int (6x^2-1) dx+\displaystyle \int (4x+3) dx\)
\(=\displaystyle \int \{(6x^2-1)+(4x+3)\} dx\)
\(=\displaystyle \int (6x^2+4x+2) dx\)
\(=\displaystyle \int 2(3x^2+2x+1) dx\)
\(=2\displaystyle \int (3x^2+2x+1) dx\)
\(=2×(x^3+x^2+x)+C\)
\(=2x^3+2x^2+2x+C\) (\(C\) は積分定数)
例題２
次の不定積分を求めなさい。
\(\displaystyle \int (x-1)(x+2) dx\)
解説
展開してから積分します。
\(\displaystyle \int (x-1)(x+2) dx\)
\(=\displaystyle \int (x^2+x-2) dx\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3}x^3+\displaystyle \frac{1}{2}x^2-2x+C\) (\(C\) は積分定数)