センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

空間に異なる \(4\) 点 \(O,A,B,C\) を \(\overrightarrow{ OA } \perp \overrightarrow{ OB }\)、\(\overrightarrow{ OB } \perp \overrightarrow{ OC }\)、\(\overrightarrow{ OC } \perp \overrightarrow{ OA }\) となるように作図します。
下図のようになります。

さらに、 \(3\) 点 \(D,E,F\) を、\(\overrightarrow{ OD } = \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }\)、\(\overrightarrow{ OE } =\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)、\(\overrightarrow{ OF } = \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\) となるようにとると下図のようになります。

つまり、直方体についての問題です。

さて、この直方体ですが、各辺の長さについての情報はまったくありません。

ですので、適当な長さで図示して解いていけばよいのですが・・・

もちろん「立方体」で図示して解いても構いません。
※結果論ですが、本問は立方体で作図するメリットは特にありません。もちろんデメリットもありませんが。

とりあえず立方体で解き進めてみましょう。

\(L,M,N\) も入れます。

では、解いていきましょう。

まずは、\(\overrightarrow{ OM }\) です。

図から明らかに
\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)

より、ア＝２

次に、\(\overrightarrow{ ON }\)

図から明らかに
\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ b }\)

より、イ＝３、ウ＝４

では続きです。

線分 \(FL\) を \(s:(1-s)\) に内分する点が \(P\) なので、下図のようになっています。

\(\overrightarrow{ OP }=(1-s)\overrightarrow{ OF } +s\overrightarrow{ OL }\)

なので、\(\overrightarrow{ OF }\) と \(\overrightarrow{ OL }\) を \(\overrightarrow{ a },\overrightarrow{ b },\overrightarrow{ c }\) を用いて表します。

\(\overrightarrow{ OF }=\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\)

\(\overrightarrow{ OL }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }\)

これを、\(\overrightarrow{ OP }=(1-s)\overrightarrow{ OF } +s\overrightarrow{ OL }\) に代入して、

\(\overrightarrow{ OP }=(1-s)(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }) +s(\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\)

\(=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(1-s)\overrightarrow{ c }\)

より、エ＝１、オ＝２、カ＝１

点 \(P\) を \(3\) 次元の見取り図の中にかかなくても解けましたね。

では次です。

話題が突然、\(\overrightarrow{ MP }\) と \(\overrightarrow{ MN }\) になりましたが、直前まで、\(\overrightarrow{ OP }\) について考察していました。

ですから当然、

\(\overrightarrow{ MP }=\overrightarrow{ OP }-\overrightarrow{ OM }\) を計算します。

\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)

\(\overrightarrow{ OP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(1-s)\overrightarrow{ c }\)

は前に求めたものですね。

よって、

\(\overrightarrow{ MP }=\overrightarrow{ OP }-\overrightarrow{ OM }\)
\(=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+(s-\displaystyle \frac{1}{2})\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)

また、\(\overrightarrow{ MN }=\overrightarrow{ ON }-\overrightarrow{ OM }\) で、

\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ b }\)

も（１）で求めているので、

\(\overrightarrow{ MN }=\overrightarrow{ ON }-\overrightarrow{ OM }\)

\(=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c }\)

\(\overrightarrow{ MP }=\displaystyle \frac{ケ}{コ}\overrightarrow{ MN }\) となるそうなので、\(\overrightarrow{ MP }\) と \(\overrightarrow{ MN }\) の係数を比較します。

\(\overrightarrow{ MP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+(s-\displaystyle \frac{1}{2})\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ MN }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c }\)

\(\overrightarrow{ c }\) の係数を比べて

\(\overrightarrow{ MP }=s\overrightarrow{ MN }\) とわかります。

\(\overrightarrow{ MP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+(s-\displaystyle \frac{1}{2})\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)

\(s\overrightarrow{ MN }=s\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{4}s\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)

次は、\(\overrightarrow{ a }\) と \(\overrightarrow{ b }\) のどちらの係数比較でも良いのですが、\(\overrightarrow{ a }\) の係数に着目すれば、

\(s=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\)

\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\)

より、キ＝２、ク＝３

また、\(\overrightarrow{ MP }=s\overrightarrow{ MN }\) もわかったので、

\(\overrightarrow{ MP }=\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ MN }\)

より、ケ＝２、コ＝３

※　\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) で、\(\overrightarrow{ b }\) の係数がうまくいっているか確かめれば、答えに自信が持てますね！

\(s-\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{4}s\) なので、\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) で間違いないことがわかります。

参考・図示をして中学数学的に解く

図で解くこともできます。

下図の黄色い三角形が相似です。
\(\triangle CFM \backsim \triangle DLN\) より、\(FM /\!/ NL\) です。

このことから、水色の四角形 \(FNLM\) がのる平面があることがわかります。
\(MN\) と \(FL\) は同一面上にあり、交わることがわかります。

\(MN\) と \(FL\) の交点はこの後、\(G\) と名付けられるので、ここでもそうします。

上図の緑三角形が相似です。
\(\triangle GMF \backsim \triangle GNL\) です。
相似比は、\(MF:NL=2:1\) です。

より、対応する辺 \(MG:GN=FG:GL=2:1\)

よって、\(MG=\displaystyle \frac{2}{3}MN\)

これで、キ、ク、ケ、コが求まりました。

\(G\) とは、\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) のときの \(P\) のことですから、

\(\overrightarrow{ OP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(1-s)\overrightarrow{ c }\)

に、\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) を代入して、

\(\overrightarrow{ OG }=(1-\displaystyle \frac{ \frac{2}{3}}{2})\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{ b }+(1-\displaystyle \frac{2}{3})\overrightarrow{ c }\)

\(=\displaystyle \frac{1}{3}(2\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)

より、サ＝１、シ＝３、ス＝２、セ＝２

別解

先ほど求めたことは以下の図です。

内分の公式より、
\(\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ OM }+\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ ON }\)

\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)

\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ b }\)

を代入して、

\(\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{1}{3}(2\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)

より、サ＝１、シ＝３、ス＝２、セ＝２

次に、\(\overrightarrow{ GF }\) です。

\(\overrightarrow{ GF }=\overrightarrow{ OF }-\overrightarrow{ OG }\)

\( \overrightarrow{ OF }=\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\) なので、

\(\overrightarrow{ GF }=(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c })-\displaystyle \frac{1}{3}(2\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)

\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\)

より、ソ＝２

別解

\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) なので、

\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ LF }\)

また、\(\overrightarrow{ LF }=\displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)

なので、

\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\)

次です。

\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\) から、

\(|\overrightarrow{ GF }|^2\) を計算するのは・・・

さすがに面倒です。
図なしでも解けるのがベクトルの強みですが、図と共に解くのがベストです。

\(|\overrightarrow{ LF }|\) は直方体の対角線です。
\(|\overrightarrow{ GF }|=\displaystyle \frac{2}{3}|\overrightarrow{ LF }|\)

\(|\overrightarrow{ LF }|=\sqrt{(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2})^2+4^2+(\sqrt{3})^2}=\displaystyle \frac{9}{2}\)

よって、\(|\overrightarrow{ GF }|=\displaystyle \frac{2}{3}|\overrightarrow{ LF }|=3\)

より、タ＝３

参考

図形的に解くことを完全に捨てている人は、式処理でおします。それでも以下のように解けますが・・・

\(|\overrightarrow{ GF }|^2=|\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })|^2\)

\(=\displaystyle \frac{1}{3^2}(|\overrightarrow{ a }|^2+4|\overrightarrow{ b }|^2+4|\overrightarrow{ c }|^2\)\(-4\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ b }-8\overrightarrow{ b }\cdot\overrightarrow{ c }+4\overrightarrow{ c }\cdot\overrightarrow{ a })\)

ここで、
\(|\overrightarrow{ a }|=\sqrt{5}\)、\(|\overrightarrow{ b }|=4\)、\(|\overrightarrow{ c }|=\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ b }=0\)

\(\overrightarrow{ b }\cdot\overrightarrow{ c }=0\)

\(\overrightarrow{ c }\cdot\overrightarrow{ a }=0\)

を代入して、

\(|\overrightarrow{ GF }|^2=\displaystyle \frac{1}{3^2}(5+4\cdot16+4\cdot3)\)

\(=\displaystyle \frac{81}{3^2}\)

\(|\overrightarrow{ GF }| \gt 0\) なので、

\(|\overrightarrow{ GF }|=3\)

それほど面倒な計算ではありませんけども。

\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\)

\(\overrightarrow{ GH }=\overrightarrow{ OH }-\overrightarrow{ OG }\)

なので、\(\overrightarrow{ GH }=-\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ a }-\displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{ b }+(t-\displaystyle \frac{1}{3})\overrightarrow{ c }\)

より、
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }\)\(=-\displaystyle \frac{2}{9}|\overrightarrow{ a }|^2+\displaystyle \frac{4}{9}|\overrightarrow{ b }|^2+\displaystyle \frac{2}{3}(t-\displaystyle \frac{1}{3})|\overrightarrow{ c }|^2\)

\(=-\displaystyle \frac{10}{9}+\displaystyle \frac{64}{9}+2t-\displaystyle \frac{2}{3}\)

\(=2t+\displaystyle \frac{16}{3}\)

より、チ＝２、ツテ＝１６、ト＝３

\(タ=3\) は既に求めています。

\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=3|\overrightarrow{ GH }| \cos \angle FGH\)

\(\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }=2|\overrightarrow{ GH }| \cos \angle MGH\)

より、\(\angle FGH=\angle MGH\) のとき、

\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=\displaystyle \frac{3}{2}\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }\)・・・③

より、ナ＝３、二＝２

いよいよ最後です。

①　\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=2t+\displaystyle \frac{16}{3}\)

②　\(\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }=2t+\displaystyle \frac{10}{3}\)

③　\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=\displaystyle \frac{3}{2}\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }\)

より、

\(2t+\displaystyle \frac{16}{3}=\displaystyle \frac{3}{2}(2t+\displaystyle \frac{10}{3})\)

より、\(t=\displaystyle \frac{1}{3}\)

より、ヌ＝１、ネ＝３

以上、求まりました。