センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

解説

\(2\) 次関数のグラフの頂点ですから、平方完成に決まっていますね。

\(y=a^2x^2-4ax+b\)

\(y=a^2(x^2-\displaystyle \frac{4x}{a})+b\)

\(=a^2(x-\displaystyle \frac{2}{a})^2-4+b\)

より、グラフの頂点の \(x\) 座標は \(\displaystyle \frac{2}{a}\) なので、

\(1 \leqq \displaystyle \frac{2}{a} \leqq 3\)

を満たす \(a\) の値の範囲を求めます。

\(1 \leqq \displaystyle \frac{2}{a}\) より、\(a \leqq 2\)

また、\(\displaystyle \frac{2}{a} \leqq 3\) より、\(\displaystyle \frac{2}{3} \leqq a\)

以上、あわせて

\(\displaystyle \frac{2}{3} \leqq a \leqq 2\)

より、サ＝２、シ＝３、ス＝２

では続きです。

\(x\) の \(2\) 次不等式、\(a^2x^2-4ax+b \lt 0\) の解が存在するとき下図のようになっています。

\(a^2 \gt 0\) なので下に凸ですね。

よって、 \(x\) の \(2\) 次方程式 \(a^2x^2-4ax+b = 0\) が、異なる \(2\) つの解をもつときなので、
判別式 \(D \gt 0\) のとき

つまり、\((4a)^2-4 \cdot a^2 \cdot b \gt 0\)
\(a \neq 0\) なので、\(4a^2\) で割って整理すると、
\(b \lt 4\)

より、セは \( \lt\) なので１、ソ＝４
最後に、
\(a^2x^2-4ax+b \lt 0\)・・・②
の解が \(1 \lt x \lt 3\) になるような \(a,b\) の値です。

下図のようなときですね。

つまり、
\(a^2x^2-4ax+b =a^2(x-1)(x-3)\)
となるときです。
右辺を展開すると、
\(a^2x^2-4ax+b =a^2x^2-4a^2x+3a^2\)

左辺と右辺の同類項どうし、係数を比較します。
\(-4ax =-4a^2x\) ・・・\(x\) の項
\(b =3a^2\) ・・・定数項

\(-4ax =-4a^2x\) より、\(-4a =-4a^2\)
整理すると、
\(a(a-1)=0\)
より、\(a=0,1\)
冒頭で、\(a \neq 0\) としているので、\(a=1\)

より、タ＝１

また、定数項より、
\(b =3a^2\)
\(a=1\) なので、\(b=3\)

より、チ＝３

以上求まりました。