センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

解説

まずは図示ですね。

薄くラフに下書きをして、概形を探ります。
$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=60°$ ですから、対称的な図形であることがわかります。
正四面体を切断した形になります。

精密な図示は必ずしも必要ありませんが、図が正確なのは圧倒的有利になる可能性が高いです。日頃から作図の練習をして、図示を短時間で行えるようにしておきます。

正四面体の作図です。
コツは、底面の正三角形をまずかくこと。
頂点 $O$ は、底面の重心の上にあるので、およその位置を決めて書きます。

これはとても薄くかくのですよ。
ここに $A,B,C$ を入れます。

$\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ c }=3\cdot2\cdot\cos 60°=3$ 、$\overrightarrow{ b }\cdot \overrightarrow{ c }=2\cdot2\cdot\cos 60°=2$

がすぐに計算できますね。
より、ア＝３、イ＝２

次は $|\overrightarrow{ PQ }|^2=(ウs-エ)^2+(オt-カ)^2+キ$ です。

$P,Q$ を図にいれましょう。

もちろん
$\overrightarrow{ PQ }=\overrightarrow{ OQ }-\overrightarrow{ OP }$ です。

$\overrightarrow{ OP }=s\overrightarrow{ a }$
$\overrightarrow{ OQ }=(1-t)\overrightarrow{ b }+t\overrightarrow{ c }$ と表すと直前にあるので、これを用いて計算するに決まっています。

$\overrightarrow{ PQ }=\{(1-t)\overrightarrow{ b }+t\overrightarrow{ c }\}-s\overrightarrow{ a })$

$=-s\overrightarrow{ a }+(1-t)\overrightarrow{ b }+t\overrightarrow{ c }$

もう覚悟を決めてがっつり計算しましょう。

$|\overrightarrow{ PQ }|^2=$$(-s\overrightarrow{ a }+(1-t)\overrightarrow{ b }+t\overrightarrow{ c })\cdot(-s\overrightarrow{ a }+(1-t)\overrightarrow{ b }+t\overrightarrow{ c })$

$=s^2|\overrightarrow{ a }|^2+(1-t)^2|\overrightarrow{ b }|^2+t^2|\overrightarrow{ c }|^2$
$-2s(1-t)\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ b }-2st\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ c }$$+2t(1-t)\overrightarrow{ b }\cdot\overrightarrow{ c }$

$=9s^2+4(1-t)^2+4t^2-3\cdot2s(1-t)$$-3\cdot2st+2\cdot2t(1-t)$

$=9s^2-6s+4t^2-4t+4$

目標の穴の形に合わせるには、$s,t$ をそれぞれ平方完成ですね。

$9s^2-6s+4t^2-4t+4$

$=(3s-1)^2-1+(2t-1)^2-1+4$

$=(3s-1)^2+(2t-1)^2+2$

より、ウ＝３、エ＝１、オ＝２、カ＝１、キ＝２

$|\overrightarrow{ PQ }|^2=(3s-1)^2+(2t-1)^2+2$
であることが求まって、次に$\overrightarrow{ PQ }$ の最小値です。

$\overrightarrow{ PQ }$ はもちろん正です。

よって、$\overrightarrow{ PQ }$ が最小のとき、$|\overrightarrow{ PQ }|^2$ が最小です。

$|\overrightarrow{ PQ }|^2$ の最小値は、

$0 \leqq (3s-1)^2$ かつ $0 \leqq (2t-1)^2$ なので、

$(3s-1)^2=0$ かつ $(2t-1)^2=0$ のとき

つまり、$s=\displaystyle \frac{1}{3}$ 、 $t=\displaystyle \frac{1}{2}$ のときであり、

このとき、$|\overrightarrow{ PQ }|^2=0+0+2=2$

より、$|\overrightarrow{ PQ }|=\sqrt{2}$

ク＝１、ケ＝３、コ＝１、サ＝２、シ＝２

さて後半戦へ！

解説

$|\overrightarrow{ PQ }|=\sqrt{シ}$ のときを考えるので、先ほど求まった値を図に入れていきます。

$|\overrightarrow{ PQ }|=\sqrt{2}$

また、$s=\displaystyle \frac{1}{3}$ 、 $t=\displaystyle \frac{1}{2}$ のときなので、

$\overrightarrow{ OP }=s\overrightarrow{ a }=\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ a }$

$\overrightarrow{ OQ }=(1-t)\overrightarrow{ b }+t\overrightarrow{ c }=\displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{ b }+\displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{ c }$

※$Q$ は $BC$ の中点

さて、 $\overrightarrow{ OA }\cdot \overrightarrow{ PQ }=ス$ から、$\angle APQ=セソ°$ である。とあります。

内積の値から、$\cos \angle APQ$ が求まり、$\angle APQ$ が求まるという大定番の流れであることは一目瞭然です。

正攻法ならば、がっつりベクトルの計算をするわけですが、だいたい図を見れば検討がつきますね。

そもそも、$\angle APQ=セソ°$ に入る角は、$30,45,60,90$ しかありえません。

$\cos \angle APQ$ から求まるのですから、有名角です。

図は正確にかかれたものではありませんけど、$\angle APQ=90°$ と予想されます。

実際に成り立つのかは、三角形 $OPQ$ に三平方の定理を用いて確かめられます。

$OQ$ は 辺の長さが $2$ の正三角形の高さなので、$\sqrt{3}$

$\angle APQ=90°$ ならば、
$1^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$

成り立っています！

よって、
$\overrightarrow{ OA }\cdot \overrightarrow{ PQ }=0$ から、$\angle APQ=90°$

ス＝０、セ＝９、ソ＝０

この結果から、三角形 $APQ$ の面積は $\sqrt{タ}$ は、

$2×\sqrt{2}×\displaystyle \frac{1}{2}=\sqrt{2}$

より、タ＝２

正攻法のベクトルの計算

上のように楽をしなければ、ベクトルの計算をがっつりすることになります。

$\overrightarrow{ PQ }=-\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ c }$

$\overrightarrow{ OA }=\overrightarrow{ a }$

より、

$\overrightarrow{ OA }\cdot \overrightarrow{ PQ }=\overrightarrow{ a }\cdot(-\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ c })$

$=-\displaystyle \frac{1}{3}|\overrightarrow{ a }|^2+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ b }+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ c }$

$=-\displaystyle \frac{9}{3}+\displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle \frac{3}{2}=0$

では続きです。

また、

$\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{チ}{ツ}\overrightarrow{ OA }+ \displaystyle \frac{テ}{ト}\overrightarrow{ OQ }$

であり、点 $G$ は線分 $AQ$ を $ナ:1$ に内分する点である。

三角形 $ABC$ の重心を $G$ とするとありますので、図示しましょう。
点 $Q$ は $BC$ の中点です。そして、$AQ$ を $2:1$ に内分する位置が $G$ です。

よって、

$\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ OA }+ \displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ OQ }$

より、チ＝１、ツ＝３、テ＝２、ト＝３、ナ＝２

以上のことから、三角形 $GPQ$ の面積は三角形 $APQ$ の面積の $\displaystyle \frac{1}{3}$ なので、

$\sqrt{2}×\displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$

より、二＝２、ヌ＝３