【センター試験ⅡＢ】対数関数01
センター試験・過去問研究
センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！
真数の条件により、\(p \gt タ,q \gt タ\) である。ただし、対数 \(\log_{ a } b\) に対し、\(a\) を底といい、\(b\) を真数という。
線分 \(AB\) を \(1:2\) に内分する点の座標は、\(p\) を用いて
\(( \displaystyle \frac{チ}{ツ}p, \displaystyle \frac{テ}{ト}\log_{ 2 } p+ナ)\)
と表される。これが \(C\) の座標と一致するので
\( \displaystyle \frac{チ}{ツ}p=q\)・・・④
\( \displaystyle \frac{テ}{ト}\log_{ 2 } p+ナ=\log_{ 2 } q\)・・・⑤
が成り立つ。
⑤は
\(p= \displaystyle \frac{ニ}{ヌ}q^{ネ}\)・・・⑥
と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて、\(p \gt タ\)、\(q \gt タ\) に注意すると
\(p=ノ\sqrt{ハ}\)、\(q=ヒ\sqrt{フ}\)
である。
また、\(C\) の \(y\) 座標 \(\log_{ 2 } (ヒ\sqrt{フ})\) の値を、小数第 \(2\) 位を四捨五入して小数第１位まで求めると、\(ヘ\) である。\(ヘ\) に当てはまるものを、次の０からb のうちから一つ選べ。ただし、\(\log_{ 10 } 2=0.3010\)、\(\log_{ 10 } 3=0.4771\)、\(\log_{ 10 } 7=0.8451\) とする。
０ \(0.3\)
１ \(0.6\)
２ \(0.9\)
３ \(1.3\)
４ \(1.6\)
５ \(1.9\)
６ \(2.3\)
７ \(2.6\)
８ \(2.9\)
９ \(3.3\)
a \(3.6\)
b \(3.9\)
筆者注 以上
真数条件より、\(p \gt 0,q \gt 0\)
より、タ＝０
真数条件を覚えていない人はいないですね。
さて、内分の公式により、内分点の座標は、
\((\displaystyle \frac{1}{3}p,\displaystyle \frac{3}{2}×\displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{1}{3}\log_{ 2 } p)\)
より、
\((\displaystyle \frac{1}{3}p,\displaystyle \frac{1}{3}\log_{ 2 } p+1)\)
より、チ＝１、ツ＝３、テ＝１、ト＝３、ナ＝１
次は⑤式の変形です。
⑤式、\( \displaystyle \frac{1}{3}\log_{ 2 } p+1=\log_{ 2 } q\) を、
\(p= \displaystyle \frac{ニ}{ヌ}q^{ネ}\)・・・⑥
にします。
\( \displaystyle \frac{1}{3}\log_{ 2 } p+1=\log_{ 2 } q\)
\( \displaystyle \frac{1}{3}\log_{ 2 } p+\log_{ 2 } 2=\log_{ 2 } q\)
\(\log_{ 2 } p^{\frac{1}{3}}+\log_{ 2 } 2=\log_{ 2 } q\)
\(\log_{ 2 } (p^{\frac{1}{3}}\cdot 2)=\log_{ 2 } q\)
\(p^{\frac{1}{3}}\cdot 2=q\)
\(p^{\frac{1}{3}}=\displaystyle \frac{1}{2}q\)
両辺を \(3\) 乗して
\(p=(\displaystyle \frac{1}{2})^3q^3\)
\(p=\displaystyle \frac{1}{8}q^3\)・・・⑥
より、二＝１、ヌ＝８、ネ＝３
次は、問題文で誘導されている通り、④と⑥を連立させた方程式をときます。
\( \displaystyle \frac{1}{3}p=q\)・・・④
\(p=\displaystyle \frac{1}{8}q^3\)・・・⑥
より、
\(3q=\displaystyle \frac{1}{8}q^3\)
\(\displaystyle \frac{1}{8}q^3-3q=0\)
\(q(\displaystyle \frac{1}{8}q^2-3)=0\)
\(q(q^2-24)=0\)
より、\(q=0,\pm 2\sqrt{6}\)
\(q \gt 0\) より、\(q=2\sqrt{6}\)
また、\( \displaystyle \frac{1}{3}p=q\) なので、
\(p=3q=6\sqrt{6}\)
より、ノ＝６、ハ＝６、ヒ＝２、フ＝６
最後です。
\(\log_{ 2 } 2\sqrt{6}\) の値です。
\(\log_{ 2 } 2\sqrt{6}\)
\(=\log_{ 2 } 2+\log_{ 2 } \sqrt{6}\)
\(=1+\log_{ 2 } 6^{\frac{1}{2}}\)
\(=1+\displaystyle \frac{\log_{ 10 } 6^{\frac{1}{2}}}{\log_{ 10 } 2} \)
\(=1+\displaystyle \frac{\frac{1}{2} \log_{ 10 } 6}{\log_{ 10 } 2} \)
\(=1+\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } 2+\log_{ 10 } 3}{\log_{ 10 } 2} \)
\(=1+\displaystyle \frac{1}{2} +\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } 3}{\log_{ 10 } 2} \)
\(=1+\displaystyle \frac{1}{2} +\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{ 0.4771}{0.3010} \)
\(=1.5+\displaystyle \frac{1}{2}×1.585\cdots\)
\(=1.5+0.7925\cdots\)
\(=2.2925\cdots\)
より、小数第 \(2\) 位を四捨五入して小数第１位まで求めると
およそ \(2.3\)
より、選択肢は６です。
ヘ＝６