べき乗の和の公式

べき乗の和の公式

べき乗の和の公式

・\(1\) 乗の和
\(1+2+3+4+5+\cdots+n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\)

・\(2\) 乗の和
\(1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

・\(3\) 乗の和
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\}^2\)


以降、\(4\) 乗の和、 \(5\) 乗の和・・・の公式も存在しますが、
ほとんどの人にとっては不必要なものです。
まずは \(3\) 乗の和の公式までを確実に身につけましょう。

\(1\) 乗の和、つまり自然数の和

\(1+2+3+4+5+\cdots+n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\)

この公式は、等差数列の和の単元にて学習済です。
公式そのものはもちろん、導出方法まで確実に理解、暗記していますね?

\(1+2+3+4+5+\cdots+100\) を求めなさい。

解答

\(1+2+3+4+5+\cdots+100\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot100(100+1)=5050\)

\(2\) 乗の和

\(1^2+2^2+3^3+\cdots+n^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

公式の導出は割愛します。
いつか別ページにコラムとして書くかもしれません。
高校生のみなさんに言いたいことは、
とにかくこの公式は暗記してつかいこせるように!
ということです。

\(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+20^2\) を求めなさい。

解答

\(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+20^2\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot20(20+1)(2×20+1)=2870\)

\(3\) 乗の和

\(1^3+2^3+3^3+3^4+\cdots+n^3=\{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\}^2\)

公式の導出は割愛します。
自然数の和の公式を \(2\) 乗したものになっています。
非常に覚えやすいですね。

\(1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+10^3\) を求めなさい。

解答

\(1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+10^3\)\(=\{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot10(10+1)\}^2=3025\)