センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

解説

\(2\) 次関数のグラフの頂点ですから、平方完成に決まっていますね。

\(f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21\)

\(=a\{x^2-\displaystyle \frac{2(a+3)}{a}x\}-3a+21\)

\(=a\{x-\displaystyle \frac{(a+3)}{a}\}^2-\displaystyle \frac{(a+3)^2}{a}-3a+21\)

より、グラフの頂点の \(x\) 座標は \(\displaystyle \frac{a+3}{a}=1+\displaystyle \frac{3}{a}\)

より、サ＝１、シ＝３

\(a\) は正の実数なので、下のような図になります。

\(x\) 軸の位置は不明です。

もちろん図示して考えます。\(0 \leqq x \leqq 4\) での最小値が \(f(4)\) なので、

あるいは

のときです。

つまり２つ合わせて、\(4 \leqq 1+\displaystyle \frac{3}{a}\)

式を整理すると

\(a \leqq 1\)

\(a\) は正の実数なので、

\(0 \lt a \leqq 1\)

よりス＝１

もちろん図示します。

\(p\) はグラフの頂点の \(x\) 座標なので（問題のはじめの方にあり）

頂点で最小値です。

あるいは

のときです。

つまり２つ合わせて、\(1+\displaystyle \frac{3}{a} \leqq 4\)

※\(a\) は正の実数なので、\(0 \leqq 1+\displaystyle \frac{3}{a} \) は自動的に満たします。

よって、
\(1+\displaystyle \frac{3}{a} \leqq 4\)

を満たす範囲を求めます。

\(\displaystyle \frac{3}{a} \leqq 3\)

\(\displaystyle \frac{1}{a} \leqq 1\)

\(1 \leqq a\)

より、セ＝１

今まで見てきた \(2\) 通りの場合分け、それぞれで求めます。

\(y=f(x)\) の最小値が \(f(4)\) のとき

\(f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21\) なので、
\(f(4)=a\cdot 4^2-2(a+3)\cdot 4-3a+21\)

\(=16a-8(a+3)-3a+21\)

\(=5a-3\)

これが最小値 \(1\) になるので、

\(5a-3=1\)

\(a=\displaystyle \frac{4}{5} \)

これは先ほど求めた \(0 \lt a \leqq 1\) を満たします。

よって、これが、 \(a=\displaystyle \frac{ソ}{タ} \) の答えになります。

もう \(1\) つの場合を計算してみましょう。

\(y=f(x)\) の最小値が \(f(p)\) のとき

\(f(p)\) は、頂点のときなので、先ほど平方完成した式を使いましょう。

\(f(x)=a\{x-\displaystyle \frac{(a+3)}{a}\}^2-\displaystyle \frac{(a+3)^2}{a}-3a+21\)

なので、

\(f(p)=-\displaystyle \frac{(a+3)^2}{a}-3a+21\)

これが最小値 \(1\) になるので、

\(-\displaystyle \frac{(a+3)^2}{a}-3a+21=1\)

この式を整理すると、

\(4a^2-14a+9=0\)

解の公式より、

\(a=\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{13}}{4} \)

先ほど求めた \(1 \leqq a \) を満たすのは、\(a=\displaystyle \frac{7+\sqrt{13}}{4} \)

よって、これが、\(a=\displaystyle \frac{チ+\sqrt{ツテ}}{ト} \) の答えですね。

先の結果も合わせて

ソ＝４、タ＝５、チ＝７、ツテ＝１３、ト＝４

以上求まりました。