確率のはじめのはじめ

確率ってなんとなく日常でも使う言葉ですよね。

宝くじが当たる確率とか。

これを数学では、厳密に言葉を定義するところからはじめます。

試行

同じ条件のもとで繰り返すことのできる実験や観測のことを試行といいます。

例えば、\(1\) つのサイコロを投げて、出た目を記録していきます。
これは、同じ条件のもとで繰り返すことできます。
よって、「\(1\) つのサイコロを投げる」ことは試行です。

事象・根本事象

試行の結果として起こる事柄を事象といいます。

「\(1\) つのサイコロを投げる」という試行の結果、\(1\) の目が出たり、\(2\) の目が出たりします。
あるいは、「偶数の目が出る」とか、「\(3\) 以下の目が出る」などが起こります。

これらを事象といいます。

特に、それ以上わけることのできない事象を根元事象といいます。
今回の試行における根元事象は、
「\(1\) の目が出る」
「\(2\) の目が出る」
「\(3\) の目が出る」
「\(4\) の目が出る」
「\(5\) の目が出る」
「\(6\) の目が出る」
の \(6\) 通りです。
この \(6\) 通りすべてをまとめて、全事象といいます。

「偶数の目が出る」という事象は、根元事象ではありません。

同様に確からしい

\(1\) つの試行において、全事象に属する根元事象のどれが起こることも同じ程度に期待できるとき、これらの根元事象は同様に確からしいといいます。

かみ砕いていえば、\(1\) つのサイコロを投げたときに、どの目も平等に出やすいならば、「\(1\) つのサイコロを投げる」試行における根元事象は同様に確からしいといえます。

逆に同様に確からしくない試行の例は、画びょうを投げたときに、「針が上を向く」か「針が下を向く」かです。

確率の定義

根元事象がすべて同様に確からしい試行において、事象 \(A\) の起こる確率 \(P(A)\) は

\(P(A)=\displaystyle \frac{事象 A の起こる場合の数 }{起こりるすべての場合の数}\)

例
\(1\) つのサイコロを投げるとき、

① \(1\) の目がでる確率は、\(\displaystyle \frac{1}{6}\)

② 偶数の目がでる確率は、\(\displaystyle \frac{3}{6}=\displaystyle \frac{1}{2}\)

例題１

\(2\) 枚の \(100\) 円玉を投げるとき、 \(2\) 枚とも表がでる確率を求めなさい。

解説

非常に重要な問題です。
確実に理解しましょう。

よくある間違いとして、
（表、表）
（表、裏）
（裏、裏）
の \(3\) 通りのうち、（表、表）は \(1\) 通り、

よって、確率は \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

しかし、これは間違いです！

どこが間違っているのかと言うと、\(P(A)=\displaystyle \frac{事象 A の起こる場合の数 }{起こりるすべての場合の数}\) の分母です。

分母は、 \(3\) 通りではなく、\(4\) 通りです。
\(2\) 枚の \(100\) 円玉にア、イと名前をつけて区別します。
（ア、イ）
（表、表）
（表、裏）
（裏、表）
（裏、裏）
の \(4\) 通りが全事象であることがわかります。

よって正しくは、\(\displaystyle \frac{1}{4}\) なのです。

確率を考えるとき、すべての根本事象が同様に確からしい必要があります。
きちんと「場合の数」を求めないといけません。

例題２

赤玉 \(4\) 個、白球 \(1\) 個の合計 \(5\) 個の球が入った袋から、\(2\) 個の球を取り出すとき、\(2\) 個とも赤玉がでる確率を求めなさい。

解説

（赤、赤）
（赤、白）
のどちらかだから、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

これでは間違いであることはもう大丈夫ですね！？

感覚的にも、（赤、赤）の方が出やすそうな気がしませんか？

では、きちんと求めてみましょう。

赤玉 \(4\) 個に、ア、イ、ウ、エと名前をつけて区別します。

（赤、赤）が出るのは、ア、イ、ウ、エから \(2\) つを選ぶので、

\(_4 \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{4×3}{2×1}=6\)（通り）

（赤、白）が出るのは、ア、イ、ウ、エから \(1\) つ、白を \(1\) つを選ぶので、

\(4×1=4\) 通り

よって、求める確率は、

\(\displaystyle \frac{6}{6+4}=\displaystyle \frac{3}{5}\)

※「組合せと確率」という別ページで、改めて類題を解説します。

確率の値の範囲

確率の定義から明らかですが、確率は \(0\) から \(1\) の間の値をとります。

事象 \(A\) の起こる確率 \(P(A)\) は、

\(0 \leqq P(A) \leqq 1\)

必ず起こる事象の確率は \(1\)

絶対に起きない事象の確率は \(0\)

となります。

言い方を変えると、

全事象 \(U\) の起こる確率は、\(P(U) =1\)

決して起こらない事象、空事象 \(\phi\) の起こる確率は、\(P(\phi) =0\)