円順列

公式の意味を確認しておきましょう。

$A,B,C,D$ の $4$ 人が $1$ 列に並ぶ並び方は、$4!=24$ 通りですね。

次に、左端の人と右端の人が手をつないで円形になりましょう。

$24$ 通りの円形の並び方ができるのでしょうか？

例を見てみましょう。

この円形は、$A,B,C,D$ と並んだ後、$A,D$ が手をつないだものです。

そして・・・

$B,C,D,A$ と横一列に並んだ後、$B,A$ が手をつないでも、上図の円形と同じ並び方になります。

同様に、
$C,D,A,B$ が、円形に並んでも
$D,A,B,C$ が、円形に並んでも
上図と同じ並び方になりますね。

つまり、$4$ 通りの重複があります。
よって、
$4!÷4=3!$ 通りになります。
これが円順列の総数です。

別の説明の仕方もあります。
まず $A$ の位置を決めます。回転しても同じなので、$A$ の位置は $1$ 通りです。

残った $3$ 箇所に、残りの $3$ 人、$B,C,D$ が並びます。
この並び方は、$3!=6$ 通りです。

回転して同じになるものは $1$ つと数えるため、順列を重複の数で割ったものが円順列なのです！

例題１

$6$ 人が手をつないで輪をつくるとき、並び方は何通りありますか。

解説

公式一発で済ませましょう。
$(6-1)!=120$ 通りです。

例題２

夫婦 $1$ 組と、その子ども $4$ 人の合計 $6$ 人が円卓に座るとき、次のような座り方は何通りありますか。
（１）夫婦が隣り合う
（２）夫婦が向い合う

解説

夫婦を $A,B$ 、子どもをア、イ、ウ、エと名付けましょう。

（１）夫婦が隣り合う

条件から先に決めるのが場合の数の鉄則です。

夫婦 $A,B$ を、一かたまりのものとして扱います。
$(AB)$ と、子ども、ア、イ、ウ、エの $5$ つのものの円順列です。
$(5-1)!=24$ 通りです。

夫婦は一かたまり $(AB)$ として並べていましたが、$(BA)$ と並べることもできるので、
$24×2=48$ 通りです。

別解

まずは $6$ 人を横一列に並べましょう。
夫婦 $A,B$ を、一かたまりのものとして扱います。
$(AB)$ と、子ども、ア、イ、ウ、エの $5$ つのものの順列です。

$5!=120$ 通り

夫婦は一かたまり $(AB)$ として並べていましたが、$(BA)$ と並べることもできるので、
$120×2=240$ 通りです。

さて、 $5$ つのものを横一列に並べましたが、左端と右端がくっついて、円形に並んでもらいましょう。
「回転しても同じ並びとみなす」ので、$5$ つの重複ができます。
よって、$240÷5=48$ 通りです。

（２）夫婦が向い合う

まず夫婦を座らせます。
$2$ 人の円順列なので、$(2-1)!=1$ 通りです。

この $1$ 通りは、公式うんぬんではなく、図をかいて確かめながら解いた方がわかりやすいですね。

$A$ がどこに座っても、$B$ はその向かいに座るので枝分かれなし。
回転させても同じなので、上図の座り方のみ。
$1$ 通りなのは当たり前じゃないですか！

次に、子ども $4$ 人の座り方ですが、この $4$ 人は、円順列とはなりません！

回転させても同じにならないことは図をみれば明らかでしょう。
アから見て時計回りにア、イ、ウ、エと子ども $4$ 人が並ぶ座り方です。

まったく異なる座り方であり、重複していません。

よって、子ども $4$ 人の座り方は、 $4$ 人を並べる順列で、$4!=24$ 通り

以上より、
$1×24=24$ 通り

求まりました。

別解

まず、子ども $4$ 人を座らせても解けます。
$4$ 人の円順列なので、$(4-1)!=6$ 通りです。

次に、夫婦 $2$ 人の座り方です。
$A$ がどこに座るか考えると、下図の赤丸の箇所のどこかです。

アとイの間
イとウの間
ウとエの間
エとアの間
の $4$ 通りがあります。

$A$ が座る位置が決まれば、$B$ は自動的に決まるので、枝分かれはおきません。

よって、$6×4=24$ 通りです。

数珠順列

数珠（じゅず）とは、お坊さんが持っているアレです。
真珠のようなものをつなげて、ネックレスや腕輪のようにしたものです。

例題１

赤、青、黄、緑の $4$ つの球をひもに通し、輪にしてネックレスにします。
このようにして作られたネックレスの、異なる色の組み合わせは何通りですか。

解説

数珠＝ネックレス
同様のものだと考えてください。

数珠順列は、円順列の兄弟です。

じゅずは、裏返しがあるのです。

よって、数珠順列＝円順列$÷2$　と覚えましょう。

この問題では、
$(4-1)!÷2=3$ 通りです。

上図の $6$ 通りは、円順列ならばすべて異なるものです。
$4$ つの円順列の全 $6$ 通りとなっています。

赤玉から時計まわりに回ってみてください。
青、黄色、緑の順列、$6$ 通り、すべて異なっていることが確かめられます。

しかし、図に示した通りですが、左右で裏返しで同じになる組にできます。

数珠順列は、円順列の半分なのです。