点と直線の距離

点 \(P\) と直線 \(L\) の距離とは、点 \(P\) から直線 \(L\) へ引いた垂線の長さのことです。

やや複雑な公式ですが、覚えやすい公式です。

分子は、直線 \(ax+by+c=0\) に座標 \((x_{ 1 },y_{ 1 })\) を代入したもの（の左辺）の絶対値。
分母は、三平方の定理のような形です。
※ \(a^2+b^2=c^2\) のときの \(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

この公式を、毎回一から導出するのはまったくおススメできません。
とにかく絶対暗記すべき重要公式として、確実に暗記をしましょう。

公式の導出は一番最後で扱います。

例題１

点 \((-2,1)\) と直線 \(y=-3x+1\) の距離を求めなさい。

解説

公式に当てはめて計算するのみです。

直線の方程式は、\(3x+y-1=0\) と変形できます。
よって、求める距離を \(d\) とすると、

\(d=\displaystyle \frac{| ax_{ 1 }+by_{ 1 }+c |}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

という公式に当てはめます。
\((x_{ 1 },y_{ 1 })= (-2,1)\)
\(a=3,b=1,c=-1\)
です。

よって、

\(d=\displaystyle \frac{| 3\cdot(-2)+1\cdot1-1 |}{\sqrt{3^2+1^2}}\)

\(=\displaystyle \frac{6}{\sqrt{10}}\)

\(=\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{5}\)

例題２

平行な \(2\) 直線、 \(2x-3y+1=0\) と \(2x-3y-2=0\) の距離を求めなさい。

解説

平行な \(2\) 直線の距離とは、\(2\) 直線間の最短距離のことです。
下図の \(PQ\) のことです。

点 \(P,Q\) は直線上のどの点でもいいので、計算が楽になる点を選ぶとよいです。
つまり、\(x\) 座標が \(0\) や \(1\) となる点や、 \(y\) 座標が \(0\) や \(1\) となる点を選びましょう。

直線 \(2x-3y+1=0\) 上の点 \((1,1)\) を選んで計算してみましょう。
\((1,1)\) と \(2x-3y-2=0\) の距離が求める最短距離であり、その距離を \(d\) とおくと

\(d=\displaystyle \frac{| 2\cdot1-3\cdot1-2 |}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}\)

\(=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}\)

\(=\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{13}\)

参考

ちなみに例題１，２は、「点と直線の距離の公式」を知らない中学生でも解けます。
座標平面に図示をして、直角三角形の相似と三平方の定理を使えば良いのです。
公式を忘れてしまったときのためにも、「中学生のやり方でも解ける」と知っておきましょう。

点と直線の距離の公式の導出

公式の導出が出題されることはほぼありません。
※過去に大阪大学でありましたが・・・
国公立のトップレベルを目指す人以外は、完全に無視してよいと言えます。

ここでは、完璧な証明ではなく、雰囲気を味わってもらえれば程度のものをのせておきます。
\(a,b\)ともに \(0\) より大のときに限っての証明を載せておきます。

点 \(P(x_{ 1 },y_{ 1 })\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\) が
下図のようになっているとします。

直線 \(ax+by+c=0\) は \(y=-\displaystyle \frac{a}{b}x-\displaystyle \frac{c}{b}\) と変形できます。

つまり直線 \(ax+by+c=0\) の傾きは、 \(-\displaystyle \frac{a}{b}\) です。

このことと、\(PQ\) が 直線 \(ax+by+c=0\) と垂直であることを図示すると下図のようになります。
黄色い直角三角形の辺の比は、直角をはさむ辺の長さの比が \(a:b\) です。
三平方の定理より、斜辺は \(\sqrt{a^2+b^2}\) です。
つまり、 \(3\) 辺の比が \(a:b:\sqrt{a^2+b^2}\) です。

ここで、直線 \(ax+by+c=0\) 上の点 \(R( x_{ 2 },y_{ 1 })\) を登場させます。

１．点 \(R\) は 直線 \(ax+by+c=0\) 上の点なので、\(ax_{ 2 }+by_{ 1 }+c=0\)・・・①

２．三角形 \(PQR\) と黄色い直角三角形は相似なので、\(d=PQ=PR×\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)・・・②

３．\(PR\) の長さは \(x_{ 2 }-x_{ 1 }\)・・・③

あとは①、②、③を組みあわせると点と直線の長さの公式を得ます。

②、③より、

\(d=(x_{ 2 }-x_{ 1 })×\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\displaystyle \frac{ax_{ 2 }-ax_{ 1 }}{\sqrt{a^2+b^2}}\)・・・④

①より、\(ax_{ 2 }=-by_{ 1 }-c\) なので、④に代入すると

\(d=\displaystyle \frac{-by_{ 1 }-c-ax_{ 1 }}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\displaystyle \frac{-ax_{ 1 }-by_{ 1 }-c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\displaystyle \frac{-(ax_{ 1 }+by_{ 1 }+c)}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

分子が公式とちょっと違いますね。
公式では、\(a,b,c\) の符号や、点 \(P,R\) と直線の位置関係がどんなときでも成り立つように
絶対値となっています