方程式の複素数解

証明は初心者には不要です。
とにかく覚えておきましょう。

例題１

$x^3+ax^2+2x+b=0$ が $1+\sqrt{3}i$ を解にもつとき、実数の係数 $a,b$ の値を求めなさい。また、残りの解を求めなさい。

解説

解は代入します。

$1+\sqrt{3}i$ を解にもつから、$x^3+ax^2+2x+b=0$ に代入して、

$(1+\sqrt{3}i)^3+a(1+\sqrt{3}i)^2+2(1+\sqrt{3}i)+b=0$
$(1+3\sqrt{3}i-9-3\sqrt{3}i)+a(1+2\sqrt{3}i-3)+2(1+\sqrt{3}i)+b=0$

左辺を $i$ について整理します。

$2\sqrt{3}(a+1)i+(-2a+b-6)=0$

$a,b$ は実数なので、$2\sqrt{3}(a+1),-2a+b-6$ も実数だから、

$2\sqrt{3}(a+1)=0$
$-2a+b-6=0$

これを解いて、$a=-1,b=4$

このときもとの方程式は
$x^3-x^2+2x+4=0$

ではこの $3$ 次方程式を解きます。
因数定理ですね。

$f(x)=x^3-x^2+2x+4$ とすると

$f(-1)=0$

より、$(x+1)$ を因数に持ちます。

$x^3-x^2+2x+4=0$
$(x+1)(x^2-2x+4)=0$

解の公式を用いて、
$x=-1,1\pm\sqrt{3}i$

別解

$P(x)=x^3+ax^2+2x+b=0$ ・・・①
とする。

$1+\sqrt{3}i$ が $P(x)$ の解だから、その共役複素数 $1-\sqrt{3}i$ も $P(x)$ の解である。
残りの解を $x=\alpha$ とすると、

$P(x)=(x-\alpha)\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}$

$\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}=x^2-2x+4$ なので、

$P(x)=(x-\alpha)\{x-(1+\sqrt{3}i)\}\{x-(1-\sqrt{3}i)\}$

$=(x-\alpha)(x^2-2x+4)$

$=x^3+(-\alpha-2)x^2+(2\alpha+4)x-4\alpha$・・・②

①と②の係数を比較すると、

$a=-\alpha-2$
$2=2\alpha+4$
$b=-4\alpha$

より、$\alpha=-1$、$a=-1,b=4$

以上求まりました。
$a=-1,b=4$
残りの解は、$-1,1-\sqrt{3}i$