対称式の値
対称式
\(x+y\) 、\(x^2+y^2\) のように、 \(x,y\) を入れかえても変わらない式を、 \(x,y\) の対称式といいます。
特に、 \(x+y\) 、\(xy\) を基本対称式といいます。
例
\(3x^2+3y^2-xy=3(x+y)^2-7xy\)
例題１
次の式を、\(x+y\) 、\(xy\) を用いて表しなさい。
（１）\(x^2+y^2\)
（２）\(x^3+y^3\)
（３）\((x-y)^2\)
（４）\(\displaystyle \frac{y}{x}+\displaystyle \frac{x}{y}\)
解説
\(x+y\) を \(2\) 乗、\(3\) 乗したものから、\(xy\) をいくつか足したり引いたりするのが基本方針です。
（１）\(x^2+y^2\)
\(2\) 乗なので、\((x+y)^2\) から調整します。
\(x^2+y^2\)
\(=(x+y)^2-2xy\)
（２）\(x^3+y^3\)
\(3\) 乗なので、\((x+y)^3\) から調整します。
\(x^3+y^3\)
\(=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2\)
\(=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
必ずうまくいくので、信じて計算を進めていくのみです。
（３）\((x-y)^2\)
\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) なので、\(2\) 乗をつくるためにはやはり、\((x+y)^2\) から調整します。
\((x-y)^2=(x+y)^2-4xy\)
（４）\(\displaystyle \frac{y}{x}+\displaystyle \frac{x}{y}\)
見ていてもはじまらないので、まずは通分して、足してみましょう。
\(\displaystyle \frac{y}{x}+\displaystyle \frac{x}{y}\)
\(=\displaystyle \frac{x^2+y^2}{xy}=\displaystyle \frac{(x+y)^2-2xy}{xy}\)
解決しちゃいましたね。
例題２
\(x=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)、\(y=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
のとき、次の式の値を求めよ。
（１）\(x+y\)
（２）\(xy\)
（３）\(x^2+y^2\)
（４）\(x^3+y^3\)
解説
\(x+y\) と \(xy\) を求めるのに、工夫の余地はありません。ただ計算するのみです。
たいして計算も面倒ではありあません。
次に、\(x^2+y^2\) や \(x^3+y^3\) を求めるわけですが、そのまま値を代入するのでは計算が面倒すぎてやってられません。ここで、基本対称式、\(x+y\) と \(xy\) の値を利用できるように式変形をします。
その後、\(x+y\) と \(xy\) の値を代入にします。
（１）\(x+y\)
\(x+y=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\)
\(=2\sqrt{3}\)
（２）\(xy\)
\(xy=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}×\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}\)
\(=1\)
（３）\(x^2+y^2\)
直接代入するのではなく、まず式変形をしましょう。
\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
(1)(2) で求めた値を代入します。
\(=(2\sqrt{3})^2-2\cdot1\)
\(=10\)
（４）\(x^3+y^3\)
（３）と同様です。まずは式変形です。
\(x^3+y^3\)
\(=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
(1)(2) で求めた値を代入します。
\(=(2\sqrt{3})^3-3\cdot1\cdot2\sqrt{3}\)
\(=18\sqrt{3}\)
例題３
\(x=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)、\(y=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
のとき、次の式の値を求めよ。
\(5x^2+3xy+5y^2\)
解説
直接代入するのは、計算が面倒すぎますね。
基本対称式を使います。
\(xy=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}×\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
\(=1\)
\(x+y\)
\(=\displaystyle \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle \frac{(8-2\sqrt{15})+(8+2\sqrt{15})}{2}=8\)
つまり、
\(xy=1\)
\(x+y=8\)
なので、これを利用できるように、\(5x^2+3xy+5y^2\) を変形します。
\(5x^2+3xy+5y^2\) は \(5(x+y)^2\) からつくれそうです。
\(5(x+y)^2=5x^2+10xy+5y^2\) なので、
\(5x^2+3xy+5y^2=5(x+y)^2-7xy\)
これに、\(xy=1,x+y=8\) を代入して、
\(5x^2+3xy+5y^2=5(x+y)^2-7xy\)
\(=5\cdot8^2-7\cdot1\)
\(=313\)