等比数列

等比数列

等比数列・公比

このページでは、等比数列について見ていきます。
まずは言葉の確認からです。

n 項と第 n+1 項との比がすべて等しい数列を等比数列といいます。

各項の比の値 、 an+1an=r公比といいます。


文字通り、比が等しい数列なのです。
例を見ていきましょう。

例1

2,6,18,54,162,

公比が 3 の等比数列
初項は 2

例2

81,54,36,24,16,323

公差が 23 の等比数列
初項は 81

等比数列の一般的な表示

初項 a  公差 r の等差数列は
a1=a
a2=ar
a3=ar2
a4=ar3
なので
an=arn1

つまり、

初項 a  公比 r の等比数列 {an} の一般項は
an=arn1

暗記すべき公式といえばそうなのですが、導出も容易いので、理解を伴った暗記という状態になっておくべきです。

例題1

次の等比数列の一般項を求めなさい。
また、3.2 はこの数列の第何項か求めなさい。

初項 15
公比 2

解説

この数列をかき並べて見てみましょう。

15,25,45,85,165,325

3.2=165

なので、第 5 項です。

この問題を、一般項の式から解くと、

初項 15、公比 2 の等比数列 an の一般項は

an=152n1

これに 3.2 を代入して、

3.2=152n1

両辺を 5 倍して、

16=2n1
より、n=5

例題2

公比が 23、第 6 項が 1627である等比数列 {an} の一般項を求めなさい。

解説

求める一般項を an=arn1 とする。

公比が 23、第 6 項が 1627 であるから、

a(23)61=1627

より、 a=92

よって、 an=92(23)n1

例題3

4 項が 40 、第 6 項が 160 である等比数列 an の一般項を求めなさい。

解説

求める一般項を an=arn1 とする。

4 項が 40 であるから、 ar41=40
つまり、ar3=40 ・・・①

6 項が 160 であるから、 ar61=160
つまり、ar5=160 ・・・②

①、②より、a0,r0 であるから

②÷①より、

ar5ar3=16040

r2=4 より、r=±2

r=2 のとき

①、ar3=40 より
a23=40
a=5
より、an=52n1

r=2 のとき

①、ar3=40 より
a(2)3=40
a=5
より、an=5(2)n1

したがって、
an=52n1 または an=5(2)n1

例題4

次の数列が等比数列であるとき、x の値を求めなさい。

x6,x,1

解説

等比数列なので真ん中の 2 乗は、左右の数の積と等しくなります。
A,Ar,Ar2 なので、真ん中の 2 乗は、(Ar)2=A2r2、左右の積は AAr2=A2r2

よって、x2=(x6)
x2=x+6
x2+x6=0
(x2)(x+3)=0
より、x=3,2

参考

x=3 のとき、
9,3,1 となり、公比 13 の等比数列です。

x=2 のとき、
4,2,1 となり、公比 12 の等比数列です。