等比数列
等比数列
等比数列・公比
このページでは、等比数列について見ていきます。
まずは言葉の確認からです。
各項の比の値 、 an+1an=r を公比といいます。
文字通り、比が等しい数列なのです。
例を見ていきましょう。
例1
2,6,18,54,162,・・・
公比が 3 の等比数列
初項は 2
例2
81,−54,36,−24,16,−323⋯
公差が −23 の等比数列
初項は 81
等比数列の一般的な表示
初項 a 公差 r の等差数列は
a1=a
a2=ar
a3=ar2
a4=ar3
なので
an=arn−1
つまり、
an=arn−1
暗記すべき公式といえばそうなのですが、導出も容易いので、理解を伴った暗記という状態になっておくべきです。
例題1
次の等比数列の一般項を求めなさい。
また、3.2 はこの数列の第何項か求めなさい。
初項 15
公比 2
解説
この数列をかき並べて見てみましょう。
15,25,45,85,165,325⋯
3.2=165
なので、第 5 項です。
この問題を、一般項の式から解くと、
初項 15、公比 2 の等比数列 an の一般項は
an=15⋅2n−1
これに 3.2 を代入して、
3.2=15⋅2n−1
両辺を 5 倍して、
16=2n−1
より、n=5
例題2
公比が 23、第 6 項が 1627である等比数列 {an} の一般項を求めなさい。
解説
求める一般項を an=arn−1 とする。
公比が 23、第 6 項が 1627 であるから、
a⋅(23)6−1=1627
より、 a=92
よって、 an=92⋅(23)n−1
例題3
第 4 項が 40 、第 6 項が 160 である等比数列 an の一般項を求めなさい。
解説
求める一般項を an=arn−1 とする。
第 4 項が 40 であるから、 ar4−1=40
つまり、ar3=40 ・・・①
第 6 項が 160 であるから、 ar6−1=160
つまり、ar5=160 ・・・②
①、②より、a≠0,r≠0 であるから
②÷①より、
ar5ar3=16040
r2=4 より、r=±2
r=2 のとき
①、ar3=40 より
a⋅23=40
a=5
より、an=5⋅2n−1
r=−2 のとき
①、ar3=40 より
a⋅(−2)3=40
a=−5
より、an=−5⋅(−2)n−1
したがって、
an=5⋅2n−1 または an=−5⋅(−2)n−1
例題4
次の数列が等比数列であるとき、x の値を求めなさい。
x−6,x,−1
解説
等比数列なので真ん中の 2 乗は、左右の数の積と等しくなります。
※A,Ar,Ar2 なので、真ん中の 2 乗は、(Ar)2=A2r2、左右の積は A⋅Ar2=A2r2
よって、x2=−(x−6)
x2=−x+6
x2+x−6=0
(x−2)(x+3)=0
より、x=−3,2
参考
x=−3 のとき、
−9,−3,−1 となり、公比 13 の等比数列です。
x=2 のとき、
−4,2,−1 となり、公比 −12 の等比数列です。