等差数列の和
等差数列の和
項数、末項
このページでは、項の数が有限である数列について考えます。
まずは言葉の確認からです。
項が \(n\) 個ある数列
\(a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 },\cdots,a_{ n-1 },a_{ n }\)
において \(n\) を項数といいます。
最後の項である \(a_{ n }\) を末項といいます。
等差数列の和
等差数列の初項から第 \(n\) 項までの \(n\) 個の項の和を \(S_{ n }\) とします。
\(S_{ n }=a_{ 1 }+a_{ 2 }+a_{ 3 }+・・・+a_{ n-1 }+a_{ n }\)
のことですね！
この和を簡単に求める公式があります。
初項が \(a\) で、末項が \(a_{ n }=l\) であるとき、
\(S_{ n }=\displaystyle \frac{1}{2}n(a+l)\)
公差が \(d\) ならば
\(S_{ n }=\displaystyle \frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\)
\(2\) つめの式は、末項が \(l=a+(n-1)d\) なので、
それを \(1\) つ目の式に代入したものです。
等差数列の和の例
\(50\) 以下の \(3\) の倍数の和を求めなさい。
解答
求める和を \(S\) とすると、
\(S=3+6+9+12+\cdots+48\)
末項である \(48\) は \(48÷3=16\) より、\(16\) 番目の \(3\) の倍数なので、
この数列には \(16\) 個の項があります。
等差数列の和の公式を適用すると
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot16(3+48)=408\)
等差数列の和の導出
さて、この等差数列の和の公式はどのように導かれるのでしょうか。
求める和の足し算を逆順にした式と、もとの式を上下に並べます。
\(\begin{eqnarray}S &=& \hspace{ 5pt } 3+ \hspace{ 5pt } 6+ \hspace{ 5pt } 9+\cdots+42+45+48・・・① \\ S &=& 48+45+42+\cdots+\hspace{ 5pt }9+\hspace{ 5pt } 6+\hspace{ 5pt } 3・・・② \end{eqnarray}\)
①と②を上下に足せば
\(2S＝51+51+51+\cdots+51+51+51\)
つまり、（初項＋末項）の \(51\) が項数（この例では \(16\) 個）できます。
\(2S=(初項＋末項)×項数\)
ですね。
もちろん得たい和は \(S\) なので \(2\) で割ります。
\(S=(初項＋末項)×項数×\displaystyle \frac{1}{2}\)
これで公式を導出できました。
※項数が奇数のときも成り立つの？と気になった人もいるでしょうか？
自分で、具体例で調べてみるのがいいですね。
例
\(\hspace{ 5pt }S=\hspace{ 5pt }1+\hspace{ 5pt }4+\hspace{ 5pt }7+10+13\)
\(\hspace{ 5pt }S=13+10+\hspace{ 5pt }7+\hspace{ 5pt }4+\hspace{ 5pt }1\)
\(2S=14+14+14+14+14\)
で成り立ちますね
例題
次の等差数列の和を求めなさい。
① 初項 \(1\) 、公差 \(5\) の等差数列の初校から第 \(30\) 項までの和
② \(15,20,25,30,35,・・・,95\) の和
解説
① 初項 \(1\) 、公差 \(5\) の等差数列の初校から第 \(30\) 項までの和
この数列の第 \(30\) 項は、\(1+5(30-1)=146\)
よって、求める和を \(S\) とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot30(1+146)=2205\)
② \(15,20,25,30,35,・・・95\) の和
\(95=15+5(n-1)\)
より、\(n=17\)
よって、この数列の項数は \(17\) です。
よって、求める和を \(S\) とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot17(15+95)=935\)
自然数列の和・奇数列の和
① 自然数の和 \(1+2+3+4+\cdots+(n-1)+n\) の和
② 奇数の和 \(1+3+5+7+\cdots+(2n-3)+(2n-1)\) の和
解説
① 自然数の和 \(1+2+3+4+\cdots+(n-1)+n\) の和
公差 \(1\) 、初項 \(1\) 、項数 \(n\) の等差数列の和を求めます。
よって、求める和を \(S\) とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}n(1+n)\)
普通、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\)
とかきます。暗記してしまいたい公式です。
② 奇数の和 \(1+3+5+7+\cdots+(2n-3)+(2n-1)\) の和
公差 \(2\) 、初項 \(1\) 、項数 \(n\) の等差数列の和を求めます。
よって、求める和を \(S\) とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}n\{1+(2n-1)\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}n(2n)\)
\(=n^2\)
奇数を \(1\) から順に \(n\) 個足した和は \(n^2\) です。
使用頻度は多くはありませんが、暗記してしまいたい公式です。